Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integração

Ver Teoria
Exercício 8123456791011121314

Enunciado

Assinale V para verdadeiro e F para falso.

  1. A imagem da função vetorial

    2. r t = t 3 - t t t - 1 ,   t 2

    É igual ao conjunto de todos os pontos x , y ∈ R 2 tais que y = x - 1 2

  2. A regra do produto vetorial para derivadas de funções vetoriais nos diz que

    3. d d t r t × s t = r ' t × s ' ( t )

  3. A função vetorial

    4. r t = 1 t - 1 t - 1 ,   t - 1

    Não possui limites laterais em t = 1 .

  4. Se r t = t , 0 , t 2 , 0 ,   t - 1 , então a função vetorial s t = ∫ 0 t r u d u é contínua.
  5. A curva α t = t ,   t não é lisa, mas possui reparametrização lisa.

Passo 1

a )

Para avaliar essa afirmativa, precisamos ver se a equação

y = x - 1 2

É a equação cartesiana da curva r ( t ) . Para isso, vamos substituir o x ( t ) nessa expressão ai e ver se o valor de y que sai é igual ao que está definido na função vetorial.

y = t 3 - t t t - 1 - 1 2 = t t 2 - 1 t t - 1 - 1 2 = t t - 1 ( t + 1 ) t t - 1 - 1 2 = ( t + 1 ) - 1 2 = t 2

y t = t 2

Ou seja, a afirmativa é verdadeira!

Passo 2

b )

Essa é falsa, né galeris? A regra do produto vetorial para derivadas de funções vetoriais é

d d t r t × s t = r ' t × s ( t ) + r ( t ) × s ' ( t )

Tipo a regra do produto!

Passo 3

c )

Vamos calcular o limite dessa curva, lembrando que para isso, temos que calcular os limites laterais de cada componente.

Começando pela componente x ( t ) , temos que independente se o t se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, esse limite é 1.

lim t → 1 ⁡ t - 1 t - 1 = 1

Já para a componente y ( t ) , temos

lim t → 1 + ⁡ | t - 1 | t - 1 = lim t → 1 + ⁡ t - 1 t - 1 = 1

Pois, como t se aproxima de 1 por valores maiores que 1, t - 1 = t - 1

Mas

lim t → 1 - ⁡ | t - 1 | t - 1 = lim t → 1 - ⁡ - ( t - 1 ) t - 1 = - 1

Pois, nesse caso, t se aproxima de 1 por valores menores que 1, de modo que

| t - 1 | = - ( t - 1 )

Assim, nossa função tem limites lateriais e eles são iguais a:

lim t → 1 + ⁡ r ( t ) = ( 1,1 )

lim t → 1 - ⁡ r ( t ) = ( 1 , - 1 )

Logo, a afirmativa é falsa.

Passo 4

d )

A função

s t = ∫ 0 t r u d u

Nada mais é que a integral de r ( u ) .

Vamos calcular essa integral:

s t = ∫ 0 t r 1 u d u , ∫ 0 t r 2 u d u , ∫ 0 t r 3 u d u , ∫ 0 t r 4 u d u , ∫ 0 t r 5 u d u

s t = ∫ 0 t u d u , ∫ 0 t 0 d u , ∫ 0 t u 2 d u , ∫ 0 t 0 d u , ∫ 0 t u - 1 d u

s t = t 2 2 , 0 , t 3 3 , 0 , ∫ 0 t ( u - 1 ) d u ,   s e   u > 1

s t = t 2 2 , 0 , t 3 3 , 0 , ∫ 0 t ( 1 - u ) d u ,   s e   u ≤ 1

Então:

s t = t 2 2 , 0 , t 3 3 , 0 , ( t - 1 ) 2 2 ,   s e   t > 1

s t = t 2 2 , 0 , t 3 3 , 0 , - ( 1 - t ) 2 2 ,   s e   t ≤ 1

O ponto t = 1 pode ser um ponto problemático, então vamos fazer os limites laterais nesse ponto pra ver se dá igual:

lim t → 1 + ⁡ s t = lim t → 1 + ⁡ t 2 2 , 0 , t 3 3 , 0 , ( t - 1 ) 2 2 = 1 2 , 0 , 1 3 , 0,0

lim t → 1 - ⁡ s t = lim t → 1 - ⁡ t 2 2 , 0 , t 3 3 , 0 , - ( 1 - t ) 2 2 = 1 2 , 0 , 1 3 , 0,0

Os limites são iguais então a função é contínua!

Passo 5

e )

Para uma curva ser lisa, sua derivada tem que existir e ser não nula. Vamos ver então.

Para fazer essa derivada, temos que ‘abrir’ o módulo de t , assim:

α 1 t = t ,   t   ,   s e   t > 0

α 2 t = t ,   - t ,   s e   t < 0

As derivadas vão ficar:

α 1 ' t = 1 ,   1 2 t - 1 2 ∙ 1

α 1 ' t = 1 , 1 2 t

E

α 2 ' t = 1 ,   1 2 - t - 1 2 ∙ ( - 1 )

α 2 ' t = 1 , - 1 2 - t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculeint_0^1 vec F (t) * vec G (t) d t
Suponha que F → t é a força resultante que atua, no instante t , sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de F → no intervalo t 1 , t 2 é igual à variação da quantida
Calcule.int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t
Calcule.int_0^1 [t vec i + e^t vec j] d t
Use a Fórmula 2 para deduzir a Fórmula 7 a partir da Fórmula 8.2.5, no Volume 1, para o caso no qual a curva pode ser representada na forma y = F x ,a ≤ x ≤ b .