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Exercícios Resolvidos de Integração

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Exercício 9123456781011121314

Enunciado

Origem do Exercício

Resolva a equação diferencial para r → como função vetorial de t :

d r → d t = t 3 + 4 t i + t j + 2 t 2 k

Com a condição inicial: r 0 = i - 3 j .

Passo 1

Nosso objetivo é achar a função vetorial r ( t ) → a partir da equação que foi dada. Uma forma fácil de fazer isso é simplesmente integrando:

∫ d r → d t d t =     r ( t ) → + C

Passo 2

Ok, vamos integrar então:

∫ t 3 + 4 t i + t j + 2 t 2 k = ∫ t 3 + 4 t i + ∫ t j + ∫ 2 t 2 k

Todas essas funções são polinômios, então a integral fica bem tranquila:

∫ t 3 + 4 t i + ∫ t j + ∫ 2 t 2 k = t 4 4 + 2 t 2 + A i + t 2 2 + B j + 2 t 3 3 + C k

Sendo que A ,     B e C são constantes que nós precisamos descobrir.

r ( t ) → = t 4 4 + 2 t 2 + A i + t 2 2 + B j + 2 t 3 3 + C k

Passo 3

Agora vamos aplicar a condição inicial para achar A , B , C .

r 0 = i - 3 j = 1,00 - 0,3 , 0 = ( 1 , - 3,0 )

Substituindo t = 0 na função que nós achamos no passo anterior:

r ( 0 ) → = 0 4 4 + 2 ( 0 ) 2 + A i + ( 0 ) 2 2 + B j + 2 ( 0 ) 3 3 + C k

r ( 0 ) → = A i + B j + C k = ( A , B , C )

Isso quer dizer que:

A , B , C = ( 1 , - 3,0 )

Ou seja:

A = 1

B = - 3

C = 0

Passo 4

Agora já estamos prontos para escrever a solução da equação diferencial:

r ( t ) → = t 4 4 + 2 t 2 + 1 i + t 2 2 - 3 j + 2 t 3 3 k

Perceba que aqui nós simplesmente substituímos os valores que achamos para as constantes na função do passo 2.

Resposta

A solução da equação diferencial é: r ( t ) → = t 4 4 + 2 t 2 + 1 i + t 2 2 - 3 j + 2 t 3 3 k .

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