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Exercícios Resolvidos de Integração

Ver Teoria
Exercício 5123467891011121314

Enunciado

IME, 2019, VE2, Q3

Seja D = x , y : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1   e E = x , y : x 2 2 2 + y 2 2 2 ≤ 1   para x , y > 0 com 0 < a ≤ 2 e 0 < b ≤ 2 . Dado f x , y = x y , determine o valor de ∬ H f   d x d y , onde H = E - D .

Passo 1

Vamos separar o problema, utilizando:

∬ H = E - D f   d x   d y = ∬ E f   d x d y - ∬ D f   d x d y

Para a integral na região E :

∬ D f   d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 1 - x 2 2 2 x y   d y   d x = ∫ 0 a x   y 2 2 0 2 1 - x 2 2 2 d x = 4 2 ∫ 0 a x 1 - x 2 2 2 d x =

= 2 x 2 2 - x 4 4 ⋅ 2 2 0 2 = 2

Passo 2

Para integrar em D , temos:

∬ D f   d x d y = ∫ 0 a ∫ 0 b 1 - x 2 a 2 x y   d y   d x = ∫ 0 a x   y 2 2 0 b 1 - x 2 a 2 d x = b 2 2 ∫ 0 a x 1 - x 2 a 2 d x =

= b 2 2 x 2 2 - x 4 4 a 2 0 a = a 2 b 2 8

Passo 3

Por fim, temos que:

∬ H = E - D f   d x   d y = ∬ E f   d x d y - ∬ D f   d x d y = 2 - a 2 b 2 8

Resposta

2 - a 2 b 2 8

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