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Exercícios Resolvidos de Integração

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Exercício 1212345678910111314

Enunciado

Origem do Exercício

Se r t = 2 . cos ⁡ t i + sen ⁡ t j + 2 t k , então a integral definida:

∫ 0 π / 2 r t d t

É:

  1. 2 i - j + π 2 4 k
  2. i + j - π 2 4 k
  3. 2 i + j + π 2 4 k
  4. i - j - π 2 4 k
  5. 2 i + j + π 2 4 k

Passo 1

Precisamos integrar uma função vetorial. Para fazer isso, temos que integrar cada uma das componentes:

I = ∫ 0 π / 2 r t d t

I = ∫ 0 π / 2 2 . cos ⁡ t i + s e n ⁡ t j + 2 t k   d t

I = i ∫ 0 π 2 2 . cos ⁡ t d t   + j ∫ 0 π 2 sen ⁡ t d t   + k ∫ 0 π 2 2 t d t  

Agora vamos resolver cada uma dessas integrais.

Passo 2

Começamos com as integrais indefinidas:

∫ 2 c o s ⁡ ( t ) = 2 sen ⁡ ( t ) + C

∫ s e n ⁡ ( t ) = - cos ⁡ t + C

∫ 2 t = t 2 + C

Passo 3

Agora é só substituir os limites de integração em cada uma:

I = i 2 . sen ⁡ π 2 - 2 . sen ⁡ ( 0 ) + j - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 0 + k π 2 2 - 0 2 2

I = i 2 + j 1 + k π 2 4

Pronto! Esse é o valor da integral.

Resposta

Letra (e).

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