IME, 2019, VE2, Q2A
Seja um campo vetorial irrotacional de classe definido em , onde e . Seja a circunferência de raio 1 centrada em e seja a circunferência de raio centrada em , ambas com sentido anti-horário. Suponha que
- Expresse como uma combinação linear de e com coeficientes racionais, onde é a curva fechada representada no desenho abaixo:
- Supondo que onde
Determine os valores das constantes reais e .
Passo 1
Fala consagradx! O legal dessa questão é que o desenho é tosco de propósito. Na verdade, campos irrotacionais () são campos gradientes (). Daí,
Esta última condição implica que apresenta invariância segundo deformação de caminhos em . Isto significa que a integral do campo na curva da figura nada mais é que a combinação de deformações das integrais em e (também em ).
Passo 2
Assim, temos que
Pois rodeamos a curva duas vezes no sentido anti-horário e a uma vez no sentido anti-horário
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculeint_0^1 vec F (t) * vec G (t) d t
Suponha que F → t é a força resultante que atua, no instante t , sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de F → no intervalo t 1 , t 2 é igual à variação da quantida
Calcule.int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t
Calcule.int_0^1 [t vec i + e^t vec j] d t
Use a Fórmula 2 para deduzir a Fórmula 7 a partir da Fórmula 8.2.5, no Volume 1, para o caso no qual a curva pode ser representada na forma y = F x ,a ≤ x ≤ b .