Exercícios Resolvidos de Integração

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Enunciado

Se r → t = 2 cos ⁡ t i ^ + sen ⁡ t j ^ + ( 2 t ) k ^ , então:

∫ r → t d t

É:

(a) sen ⁡ t i ^ - t 2 k ^ + C

(b) π . sen ⁡ t i ^ - cos ⁡ t j ^ + t 2 k ^ + C

(c) 2 . sen ⁡ t i ^ - cos ⁡ t j ^ + t 2 k ^ + C

(d) - cos ⁡ t j ^ + t 2 k ^ + C

(e) 2 . sen ⁡ t i ^ + cos ⁡ t j ^ + t 2 k ^ + C

Passo 1

Ok, a questão é bem direta, só precisamos integrar r ( t ) .

Como fazemos para integrar um vetor? Basta integrar cada uma das componentes!

∫ r → t d t = ∫ 2 cos ⁡ t d t   i ^ + ∫ sen ⁡ t d t   j ^ + ∫ ( 2 t ) d t k ^

Beleza, vamos resolver cada uma das integrais.

Passo 2

Começamos pela componente i ^ :

∫ 2 cos ⁡ t d t = 2 ∫ cos ⁡ t d t

E nós conhecemos bem a integral do cosseno:

2 ∫ cos ⁡ t d t = 2 . sen ⁡ t + C 1

Passo 3

Agora vamos para a componente j ^ :

∫ sen ⁡ t d t   = - cos ⁡ t + C 2

Passo 4

E por último a componente k ^ :

∫ ( 2 t ) d t   = t 2 + C 3

E agora é só somar todas as componentes:

∫ r → t d t = 2 sen ⁡ t + C 1 i ^ + - cos ⁡ t + C 2 j ^ + t 2 + C 3 k ^

E podemos simplesmente juntar essas três constantes em uma só:

∫ r → t d t = 2 sen ⁡ t i ^ - cos ⁡ t j ^ + t 2 k ^ + C

Resposta

Letra (c).

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