USP-SEM CAMPUS- Calculo 3 – prova 2 – 2022.1
Sejam e funções de classe arbitrárias, estritamente positivas, definidas em e sendo uma curva de classe por partes, arbitrária, simples e fechada. Considere as seguintes afirmações:
Passo 1
Olá amiguinho do Responde Aí, está tudo lá em cima?
Aqui temos uma questão que aparenta ser de cálculo 3, mas na real podemos resolvê-la utilizando argumentos de derivadas.
Basicamente, a questão dá uma condição e realiza 3 afirmações sobre as condições e perante essas condições pergunta qual é verdadeira.
Para resolver isso precisamos lembrar da regra da cadeira e da regra do produto de derivadas, você lembra?
Calma, Calma. Vamos relembrar.
Na regra do produto temos isso aqui:
Mas, para que serve a regra da cadeia?
Imagina a seguinte situação:
Aplicando essa situação na regra do produto em conjunto com a regra da cadeia temos que:
E essa formulinha que vamos utilizar para resolver a questão, vamos verificar se aquelas afirmações estão corretas? Vamos lá.
Passo 2
Olha a formulinha que acabamos de ver:
Como depende apenas de uma variável podemos deixar da seguinte forma:
Como o integrando das três afirmações são os mesmos vamos comparar com ele:
Deixando mais bonitinho:
Olha só, que malandrinho hein?
Sendo assim, temos que:
Passo 3
Logo temos que
Resolvendo essa integral temos que:
No enunciado afirma que as funções são estritamente positivas e são definidas para todos os reais. Além disso a curva é uma curva fechada e bem comportada, então:
Contradizendo as demais afirmações, logo apenas a I é correta.
Resposta
Apenas a afirmativa I) é verdadeira.