Exercícios Resolvidos de Integração

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Enunciado

Uma partícula se move no plano com vetor posição para cada instante , sendo que no instante ela está na posição . Savendo que o vetor velocidade é dado por

Quanto vale ?

Passo 1

Sabemos que o vetor velocidade é dado por

Assim

De modo que para encontrarmos as coordenadas da nossa partícula, basta integrarmos a velocidade.

Passo 2

Vamos para a integral então:

Lembrando que , então .

Assim

Passo 3

Agora, da primeira coordenada:

Substituindo que acabamos de encontrar:

Ou seja, temos uma função que, quando derivada, dá ela mesma, multiplicada por .

Isso tá com cheiro de função exponencial composta né? Porque função que derivada dá ela mesma é função exponencial, mas como ta multiplicada por outra função, cheira a regra da cadeia.

Então, vamos integrar só para saber qual a “função de dentro”.

Assim,

Passo 4

Substituindo :

Resposta

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Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculeint_0^1 vec F (t) * vec G (t) d t

Suponha que F → t é a força resultante que atua, no instante t , sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de F → no intervalo t 1 , t 2 é igual à variação da quantida

Calcule.int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t

Calcule.int_0^1 [t vec i + e^t vec j] d t

Use a Fórmula 2 para deduzir a Fórmula 7 a partir da Fórmula 8.2.5, no Volume 1, para o caso no qual a curva pode ser representada na forma y = F x ,a ≤ x ≤ b .