Exercícios Resolvidos de Integração

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Enunciado

Uma partícula se move no plano com vetor posição x t ,   y t para cada instante t ≥ 0 , sendo que no instante t = 0 ela está na posição ( 1,0 ) . Savendo que o vetor velocidade é dado por

v t = x t ∙ y t ,   t

Quanto vale x ( 1 ) ?

  1. e 2 3
  2. e 1 6
  3. e 1 2
  4. e 1 3
  5. e - 1 2

Passo 1

Sabemos que o vetor velocidade é dado por

v t = r ' t = x ' t , y ' t

Assim

v t = x y ,   t = x ' t , y ' t

x ' t = x y

y ' t = t

De modo que para encontrarmos as coordenadas da nossa partícula, basta integrarmos a velocidade.

Passo 2

Vamos para a integral então:

y t = ∫ t d t

y t = t 2 2 + c  

Lembrando que x 0 ,   y 0 = 1,0 , então y 0 = 0 .

y 0 = 0 2 2 + c = 0

c = 0

Assim

y t = t 2 2

Passo 3

Agora, da primeira coordenada:

x ' t = x y

Substituindo y que acabamos de encontrar:

x ' t = x t 2 2

Ou seja, temos uma função que, quando derivada, dá ela mesma, multiplicada por t 2 2 .

Isso tá com cheiro de função exponencial composta né? Porque função que derivada dá ela mesma é função exponencial, mas como ta multiplicada por outra função, cheira a regra da cadeia.

Então, vamos integrar só t 2 2 para saber qual a “função de dentro”.

∫ t 2 2 d t = t 3 6

Assim,

x t = e t 3 6

Passo 4

Substituindo t = 1 :

x 1 = e 1 3 6 = e 1 6

Resposta

L e t r a   b

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