O sólido mostrado na figura é formado pela revolução da área cinza-escuro ao redor do eixo . Determine o raio de giração . O peso específico do material é .
Passo 1
Sabemos que para calcular o raio de giração temos que usar a seguinte fórmula:
Onde, é o momento de inércia e é a massa. Então, vamos começar nosso problema achando a massa deste corpo.
Para resolver esta questão vamos usar o método do disco elementar, ou seja, vamos criar um disco dentro do nosso sólido de raio e uma espessura infinitesimal . Com isso, sabemos que o nosso volume será:
Vamos começar calculando a massa deste cilindro e para isso temos que saber que:
Mas como se calcula esse elemento de massa infinitesimal ?
Opa, vamos substituir o nosso neste equação:
Então, a nossa integral vai ficar:
Vamos passar as nossas constantes para o lado de fora da equação:
E agora vamos integrar ao longo da altura do sólido () de modo que o nosso disco percorra toda a sua altura:
Perceba que na figura foi dada a equação do sólido:
Vamos substituir o da nossa integral:
Como a unidade do gráfico está em polegadas, vamos passar o peso específico de pés para polegadas:
Então:
Vamos usar no lugar da densidade a massa específica e fazer uma conversão de unidades no final:
Porém, a unidade americana para massa é o que equivale a:
Portanto:
Passo 2
Nosso próximo passo é calcular o momento de inércia em relação ao eixo . Para isso, temos que calcular o momento de inércia do disco de espessura infinitesimal. Mas sabemos que o momento de inércia de um cilindro em relação ao seu eixo longitudinal é:
Como o disco que criamos é um cilindro só que de espessura bem pequena, é só derivarmos o momento de inércia do cilindro que é sempre o mesmo para o eixo longitudinal:
Repare que o raio é constante, por isso só derivamos a massa.
Nós já sabemos que:
Então vai ser:
Repare que o raio do nosso disco varia conforme ele percorre toda a altura do cone, então:
Vamos ter que:
Como estamos trabalhando com a unidade americana, vamos trocar por :
Passo 3
Pronto! Agora é só integrarmos dos dois lados:
Vamos tirar nossas constantes para fora da integral:
Nós sabemos que a equação do sólido é:
Então, a nossa integral fica:
Vamos integrar ao longo da altura:
Vamos ter que:
Como , vamos ter:
Sabemos que:
Vamos passar de para a unidade . Para isso, é só dividir por :
Passo 4
Para finalizar, vamos calcular o raio de giração :