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Exercícios Resolvidos de Isolamento de Raízes e Método Gráfico

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Exercício 81234567910

Enunciado

Determine dois intervalos, de amplitude no máximo igual a 1, que contenha duas raízes da função abaixo:

f x = x 4 - 4 x 3 + x 2 + 1

Passo 1

Opa!

Nós temos a funçãozinha f x = x 4 - 4 x 3 + x 2 + 1 e ele quer dois intervalos de uma unidade que isole as duas raízes.

Passo 2

Começando. Vamos chutar os valores de praxe 0,1   e - 1 .

f 0 = 0 4 - 4.0 3 + 0 2 + 1 = 1

f 1 = 1 4 - 4.1 3 + 1 2 + 1 = - 1

Opa, mamãe! Já achamos o primeiro intervalo.

Não viu o porquê?

Temos que f 0 . f 1 = - 1

Logo f 0 . f 1 < 0 e pelo Teorema de Bolzano isso nos garante que existe uma raiz aí nesse intervalo, logo o primeiro intervalo é [ 0,1 ] .

Passo 3

Utilizando f ( - 1 ) , teremos:

- 1 4 - 4 . - 1 3 + - 1 2 + 1 = 7

É, o - 1 não dos deu nada, pois o intervalo de uma unidade mais próxima dele que já conhecemos é f 0 = 1 , que também é positivo. Logo, pelo Teorema de Bolzano 7.1 > 0 , o que não nos garante uma raiz por ali.

Vamos testar mais alguns valores?

Começando pelo 2.

f 2 = 2 4 - 4.2 3 + 2 2 + 1 = - 11

Também não no diz nada, pois o valor mais próximo conhecido é f 1 = - 1 .

f 1 . f 2 = - 11 . - 1 = 11 > 0

Logo, não tem raiz ali!

Passo 4

Continuando a chutar valores, teremos:

x = 3

f 3 = 3 4 - 4.3 3 + 3 2 + 1 = - 17

É! Também não nos diz nada, pois f ( 2 ) também é negativo, logo:

f 2 . f 3 = - 11 . - 17 > 0

Testando x = 4 agora (torce aí pra dar certo logo) , vamos ter:

f 4 = 4 4 - 4.4 3 + 4 2 + 1 = 17

Agora foi, ein? f 3 . f 4 = - 17 . 17 < 0 , logo teremos uma raiz nesse intervalo.

Logo, a resposta vai ser:

Resposta

0,1   e   [ 3,4 ]

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