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Exercícios Resolvidos de Isolamento de Raízes e Método Gráfico

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Exercício 12345678910

Enunciado

Localize graficamente as raízes das equações a seguir:

a   f x = 4 cos ⁡ x - e 2 x

b   f x = x 2 - t g ( x )

Passo 1

Vamos começar pela letra a .

Ele quer pelo método gráfico, logo, teremos que seguir o passo a passo de sempre.

1ª coisa a se fazer é igualar f x = 0 .

4 cos ⁡ x - e 2 x = 0

4 cos ⁡ x = e 2 x

Beleza! Eu sei o gráfico do cos ⁡ x :

E o do e x :

Passo 2

Tá, mas o que eu tenho é h x = 4 c o s ⁡ ( x ) e g x = e 2 x

Em relação ao h ( x ) ele é a mesma função que nós já sabemos, o cosseno, porém com amplitude 4 vezes maior, que vai dar nisso aqui:

Já no caso do g ( x ) o e x vai aumentar bem mais rápido, logo o gráfico vai dar uma “achatada” pra junto ao eixo. Logo, teremos:

Fazendo a igualdade entre os dois gráficos, vai ficar:

Olhando onde eles se encontram, dá pra estimar mais ou menos as raízes com ξ 1 ≅ - 1 , 6   e   ξ 2 ≅ 0,6 .

Passo 3

Letra b

Fazendo a mesma coisa da letra a , teremos:

f x = 0 = x 2 - t g x

x 2 = t g ( x )

Encontramos h x = x 2 e g x = t g ( x ) .

Uma das raízes está na nossa cara. Pra x = 0 teremos t g x = 0 também, logo ξ 1 = 0 .

A outra raiz vamos ter que juntar os gráficos:

h x = x 2 :

g x = t g x :

Juntando os dois, teremos:

Como podemos ver, uma raiz é o ξ 1 = 0 e a outra está mais ou menos localizada no ξ 2 ≅ 4,2 .

Resposta

  1. ξ 1 ≅ - 1 , 6   e   ξ 2 ≅ 0,6
  2. ξ 1 = 0   e   ξ 2 ≅ 4,2

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