USP – Álgebra Linear – P2 2020 – Questão 1
Seja a transformação linear tal que:
Se é a matriz que representa com respeito à base canônica de , então a soma dos elementos na segunda coluna da matriz é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
E aíí galera, vamos lá
Temos uma transformação linear sendo que:
E aí temos uma matriz que é a matriz da transformação linear na base canônica , ou seja:
E queremos encontrar a matriz , isso mesmo, uma matriz elevada ao expoente
Caaalma, tem um passo a passo pra isso
Primeiro, como estamos falando da matriz da transformação linear, vamos ter que começar encontrando a sua representação matricial na base canônica . Essa vai ser a matriz
Bora lá então??
Passo 2
Vamos começar encontrando a matriz dessa transformação linear na base canônica
Para isso, vamos colocar e nas colunas de uma matriz
Ok, mas não temos e nem ... Não ☹ mas partindo dos vetores e , podemos fazer uma combinação linear para chegarmos nos vetores que queremos. E com isso podemos encontrar
Por exemplo, sabemos que
Aplicando transformação linear dos dois lados, temos
Por definição de transformação linear, temos que , então
E também sabemos que :
Sabemos que e , então
Então, já temos a primeira transformação que precisamos:
Boa!! Agora vamos encontrar usando o mesmo esquema :P
Passo 3
Podemos escrever o vetor assim:
Aplicando transformação linear dos dois lados:
Temos que e , então
Então:
Boaaaa! Então já temos a transformação dos elementos da base canônica!!
Passo 4
Já sabemos a transformação dos elementos da base canônica:
Agora é só colocar isso nas colunas de uma matriz para termos a matriz , que é a matriz da transformação na base canônica
Boaaaa! Então a matriz já temos!
Agora vamos lá pensar como vai ficar essa matriz elevada a
Passo 5
Temos essa matriz
E queremos encontrar . Temos duas formas de fazer isso:
- Podemos encontrar a decomposição espectral dessa matriz, escrevendo como . E então elevamos a matriz diagonal ao expoente
- Ou então, podemos ver se achamos algum padrão de potência na matriz . Como ela é uma matriz cheia de zeros, não deve mudar muito quando elevamos a
Então vamos tentar reconhecer esse padrão?
Se elevarmos a matriz ao quadrado, vamos ter
Se fizermos , temos
Fazendo :
Opa opa opa! Nós estamos caindo em um loop!!!
Quando temos um expoente ímpar, vamos ter
E quando temos um expoente par, vamos ter
Passo 6
Como queremos elevar nossa matriz a , que é um número par, vamos ter
E como queremos a soma dos elementos da segunda coluna, vamos ter
Portanto, a alternativa correta é a letra E :D
Uhhh, essa foi longa hein hahahaha
Resposta
e)