Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Enunciado

Ajustar os dados da tabela abaixo por um polinômio do 2º grau completo.

Passo 1

O professor tá pedindo pra ajustarmos a tabela por um polinômio do 2º grau, então

φ x = c 1 x 2 + c 2 x + c 3

As funções que multiplicam c 1   , c 2 , c 3 são h 1 = x 2 , h 2 = x e como não temos “nada” ao lado do c 3 , podemos dizer também que ele está sendo multiplicado por h 3 = 1

Agora precisamos descobrir esses coeficientes c 1 , c 2   e c 3 .

Passo 2

Agora vamos montar a tabela que vai ajudar pacas a aplicar o método.

As colunas y e x da direita são apenas uma cópia da tabela que o professor deu, blz?

E nas outras 3 colunas a gente coloca as funções h que estão multiplicando os coeficientes c 1   , c 2 e c 3 .

A coluna h 3 = 1 , basta preencher com 1’s. Já a coluna h 2 = x , vai ser preenchida com os valores de x , diretinho da tabela que o professor deu. E por último a coluna h 1 = x 2 , será preenchida com os valores de x da tabela que o professor deu elevando um a um ao quadrado. Fechow??

Ela vai ficar assim:

Passo 3

Para achar os coeficientes c 1 , c 2 e c 3 vamos fazer o seguinte óh:

Calma, calma é feio, mas é tranquilo de fazer.

Para achar ∑ h 1 h 1 basta multiplicar cada elemento da primeira coluna por ele mesmo e depois soma-los.

∑ h 1 h 1 = 1 2 + 0 2 + 1 2 + 4 2 = 18

Agora vamos achar ∑ h 1 h 2 ou ∑ h 2 h 1 (sim, eles são iguais), pra isso é só multiplicar a primeira coluna pela segunda e somar

∑ h 1 h 2 = ∑ h 2 h 1 = 1 * - 1 + 0 * 0 + 1 * 1 + 4 * 2 = 8

Bora achar agora ∑ h 1 h 3 ou ∑ h 3 h 1 (eles também são iguais), pra isso é só multiplicar a primeira coluna pela terceira e somar

∑ h 1 h 3 = ∑ h 3 h 1 = 1 * 1 + 0 * 1 + 1 * 1 + 4 * 1 = 6

Para acharmos ∑ h 2 h 2 é a mesma idéia, só multiplicar os valores da coluna h 2   por ela mesma e somar.

∑ h 2 h 2 = - 1 2 + 0 2 + 1 2 + 2 2 = 4

Calma tá acabando

Para achar ∑ h 2 h 3 ou ∑ h 3 h 2 (eles também são iguais), pra isso é só multiplicar a segunda coluna pela terceira e somar

∑ h 2 h 3 = ∑ h 3 h 2 = - 1 * 1 + 0 * 1 + 1 * 1 + 2 * 1 = 2

E pela última vez, para achar ∑ h 3 h 3 basta multiplicar os valores da coluna h 3   por ela mesma e somar.

∑ h 2 h 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 4

Uffaaaa! Colocando na tabela temos:

Beleeeeza!!, faltou só multiplicar cada coluna h pela coluna do y e somar depois. Boora lá!

∑ h 1 y = 1 * 6.61 + 0 * 7.89 + 1 * 9.96 + 4 * 10.69 = 59.33

∑ h 2 y = - 1 * 6.61 + 0 * 7.89 + 1 * 9.96 + 2 * 10.69 = 24.73

∑ h 3 y = 1 * 6.61 + 1 * 7.89 + 1 * 9.96 + 1 * 10.69 = 35.15

Passo 4

Se vc já sacou, essa parte de baixo de baixo é um sistema, Ax=b com ele a gente vai encontrar os coeficientes c 1 , c 2 e c 3

18 8 6 8 6 2 6 2 4 c 1 c 2 c 3 = 59.33 24.73 35.15

Agora é só resolver o sistema né!!!

c 1 = - 0.1375

c 2 = 1.568

c 3 = 8.209

Então

φ t = - 0.1375 x 2 + 1.5685 x + 8.209

Resposta

φ t = - 0.1375 x 2 + 1.5685 x + 8.209

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