USP – Cálculo Numérico – P1 – 2017/1
3) Determine o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima a função no intervalo pelo MMQ em relação ao produto interno São dados os polinômios de Legendre (ortogonais em ) , e e os valores , e , em relação ao produto interno .
Passo 1
Falaaa... beleza??
Dessa questão vamos determinar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima a função dada. Essa é uma questão do Método de mínimos quadrados caso contínuo.
Queremos achar um polinômico com a cara:
Passo 2
Como foram dados os polinômios de Legendre, que o produto interno é variando de a , então podemos fazer a mudança de variável:
E a função:
Passo 3
Agora temos que calcular um montão de produto interno, né? Ouuuu não... repara que a gente iria calcular o produto interno entre os polinômios de legendre, né? tipo ... Mas eles são ortogonais, então são todos iguais a zero.
Só vamos precisar calcular os produtos internos com :
Passo 4
Montando a forma matricial:
Resolvendo o sistema:
Então o polinômio fica:
Voltando pra :