USP – Cálculo Numérico – PSUB – 2017
2)
a) Mostre que a função tem um único ponto de mínimo positivo.
Passo 1
Falaa... tudo bem???
Nessa questão vamos mostrar que a função dada tem um único ponto de mínimo positivo.
Pra isso vamos lembrar que pra achar ponto de mínimo ou máximo de uma função temos que achar quando a derivada dela é igual a zero.
E pra mostrar que existe uma raiz num certo intervalo de uma função, vamos usar o teorema de Bolzano. Seja uma função contínua num intervalo e se , então existe uma raiz nesse intervalo.
Vamos derivar de novo e mostrar que se a derivada naquele intervalo não muda de sinal, então a raiz é única.
Passo 2
Como queremos o ponto de mínimo de , então vamos derivar:
Pra mostrar que existe uma raiz em algum intervalo que vamos escolher um intervalo de maneira estratégica. Eu acho que o intervalo de a 1 é bacana de escolher.
Temos:
Como e , então:
E, pelo teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz nesse intervalor.
Passo 3
Pra mostrar que essa raiz é única, vamos derivar de novo:
E analisar no intervalo:
Como as derivadas não mudam de sinal, então a raiz é única.
Resposta
Demonstração nos passos