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Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Exercício 101234567891112

Enunciado

USP – Cálculo Numérico – P1 – 2017/1

2) Considere os pontos x , y a seguir: - 2,0 ,   - 1 , a ,   0,0 ,   1,1 , 2,2 a .

a) Mostre através do método de mínimos quadrados (MMQ) que se a = 1 não existe polinômio de grau menor ou igual a 2 que passe por todos esses pontos.

b) Encontre o valor de a tal que o polinômio de grau 2 que minimiza o erro quadrático referente a estes cinco pontos leva também ao menor erro possível no ponto x = 0 . Esboce o gráfico do polinômio obtido.

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão queremos achar o valor de a que o polinômio característico de grau 2 que minimiza o erro quadrático e que também tem o menor erro possível no ponto x = 0 .

Como passo a passo pra achar o polinômio:

Primeiro consideramos um polinômio genérico de grau 2:

φ x = c 1 x 2 + c 2 x + c 3

E vamos ter as três funções: h 1 x = x 2 , h 2 x = x e h 3 x = 1 .

Daí achamos os vetores h → 1 , h → 2 e h → 3 que são formados pelos pontos calculados pelas funções acima.

Daí achamos a matriz:

A =   h → 1 ,   h → 1   h → 1 , h → 2   h → 1 , h → 3 h → 2 ,   h → 1 h → 2 , h → 2 h → 2 , h → 3 h → 3 ,   h → 1 h → 3 , h → 2 h → 3 , h → 3

Também o vetor:

b = y , h → 1 y , h → 2 y , h → 3

Por fim, caímos no sistema pra achar os valores dos c ' s

A   c 1 c 2 c 3 = b

Passo 2

Nessa questão temos os pontos: - 2,0 ,   - 1 , a ,   0,0 ,   1,1 , 2,2 a

Temos os vetores:

x → = - 2 , - 1,0 , 1,2

y → = 0 , a , 0,1 , 2 a

E podemos calcular os vetores, a partir das funções:

h → 1 = 4,1 , 0,1 , 4

h → 2 = - 2 , - 1,0 , 1,2

h → 3 = 1,1 , 1,1 , 1

Passo 3

Vamos calcular os produtos internos entre os vetores h pra achar a matriz A :

  h → 1 ,   h → 1 = 4 4 + 1 1 + 0 0 + 1 1 + 4 4 = 34

h → 2 , h → 2 = - 2 - 2 + - 1 - 1 + 0 0 + 1 1 + 2 2 = 10

h → 3 , h → 3 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 = 5

  h → 1 , h → 2 = h → 2 ,   h → 1 = 4 - 2 + 1 - 1 + 0 0 + 1 1 + 4 2 = 0

  h → 1 , h → 3 = h → 3 ,   h → 1 = 4 1 + 1 1 + 0 1 + 1 1 + 4 1 = 10

h → 2 , h → 3 = h → 3 , h → 2 = - 2 1 + - 1 1 + 0 1 + 1 1 + 2 1 = 0

E ficamos com a matriz:

A = 34 0 10 0 10 0 10 0 5

Passo 4

Pra achar o vetor b :

b = y , h → 1 y , h → 2 y , h → 3

Vamos calcular os produtos internos:

y , h → 1 = 0 4 + a 1 + 0 0 + 1 1 + 2 a 4 = 9 a + 1

y , h → 2 = 0 - 2 + a - 1 + 0 0 + 1 1 + 2 a 2 = 3 a + 1

y , h → 3 = 0 1 + a 1 + 0 1 + 1 1 + 2 a 1 = 3 a + 1

Ficamos com o vetor:

b = 9 a + 1 3 a + 1 3 a + 1

O sistema fica:

34 0 10 0 10 0 10 0 5 c 1 c 2 c 3 = 9 a + 1 3 a + 1 3 a + 1

Resolvendo:

c 1 = 1 14 3 a - 1

c 2 = 1 10 3 a + 1

c 3 = 6 35 a + 2

Passo 5

Jogando esses valores, encontramos o polinômio:

φ x = 1 14 3 a - 1 x 2 + 1 10 3 a + 1 x + 6 35 a + 2

Mas queremos que o erro seja o menor possível quando x = 0 ...

E r r = φ 0 - y 0

Esse erro é o menor mesmo quando é igual a zero, pois temos só um ponto.

0 = 6 35 a + 2 - 0

a = - 2

E o polinômio fica:

φ x = - x 2 2 - x 2

Fazendo o esboço:

Resposta

a = - 2

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