Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Enunciado

A tabela abaixo refere-se à potência P (em hp), de um motor Diesel, em função do número de rotações r (em rpm). Pede-se:

Ajustar os dados da tabela por uma reta. Qual a potência para 800 rpm?

Passo 1

O professor tá pedindo pra ajustarmos a tabela por um polinômio do 1º grau, então

φ r = c 1 r + c 2

As funções que multiplicam c 1   e c 2 são h 1 = r , e como não temos “nada” ao lado do c 2 , podemos dizer também que ele está sendo multiplicado por h 2 = 1

Agora precisamos descobrir esses coeficientes c 1 e c 2  

Passo 2

Agora vamos montar a tabela que vai ajudar pacas a aplicar o método.

As colunas P e r da direita são apenas uma cópia da tabela que o professor deu, blz?

E nas outras 2 colunas a gente coloca as funções h que estão multiplicando os coeficientes c 1   e c 2 .

A coluna h 2 = 1 , basta preencher com 1’s. Já a coluna h 1 = r , vai ser preenchida com os valores de r , diretinho da tabela que o professor deu. Fechow??

Ela vai ficar assim:

Passo 3

Para achar os coeficientes c 1 e c 2 como que faz?? Vamo dar uma extendida na nossa tabela.

Não surta, que vai ser de boas...calma aeew!

Para achar ∑ h 1 h 1 basta multiplicar cada elemento da primeira coluna por ele mesmo e depois soma-los.

∑ h 1 h 1 = 400 2 + 500 2 + 600 2 + 700 2 + 750 2 = 1822500

Agora vamos achar ∑ h 1 h 2 ou ∑ h 2 h 1 (sim, eles são iguais), pra isso é só multiplicar a primeira coluna pela segunda e somar

∑ h 1 h 2 = ∑ h 2 h 1 = 400 * 1 + 500 * 1 + 600 * 1 + 700 * 1 + ( 750 * 1 ) = 2950

Para acharmos ∑ h 2 h 2 é a mesma idéia, só multiplicar os valores da coluna h 2   por ela mesma e somar.

∑ h 2 h 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 5

Calma tá acabando

Faltou só multiplicar cada coluna h pela coluna do y e somar depois. Boora lá!

∑ h 1 y = 400 * 600 + 500 * 1050 + 600 * 1440 + 700 * 1900 + ( 750 * 2120 )

∑ h 1 y = 4549000

∑ h 2 y = 1 * 600 + 1 * 1050 + 1 * 1440 + 1 * 1900 + ( 1 * 2120 ) = 7110

Uffaaaa! Colocando na tabela temos:

Passo 4

Se vc já sacou, essa parte de baixo de baixo é um sistema, Ax=b com ele a gente vai encontrar os coeficientes c 1 e c 2 .

1822500 2950 2950 5 c 1 c 2 = 4549000 7110

Agora é só resolver o sistema né!!!

c 1 = 4.318

c 2 = - 1125.79

Então

φ r = 4.318 r - 1125.79

Beleeeza, já achamos a reta. Agora precisamos achar a potência para 800 rpm

Passo 5

Pra isso basta substituir na reta que a gente achou!

φ r = 800 = 4.318 * 800 - 1125.79

φ r = 800 = 2328.61   h p

Resposta

φ r = 4.318 r - 1125.79

2328.61   h p

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