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Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Sólidos

Ver Teoria
Exercício 10123456789

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 19

Determine os momentos de inércia de um cubo de densidade constante k e aresta L se um dos seus

vértices é a origem e três de suas arestas estão sobre os eixos coordenados.

.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez vamos trabalhar com momentos de inércia!!!

Nosso objetivo é calcular os momentos de inércia de um cubo de densidade constante k e aresta L se um dos seus vértices é a origem e três de suas arestas estão sobre os eixos coordenados.

Lembram como fazemos isso?

O momento de inércia em relação aos eixos é dado por

I x = ∫ ∫ ∫ Q ( z 2 + y 2 ) δ ( x ,   y ,   z ) d x d y d z

I y = ∫ ∫ ∫ Q ( z 2 + x 2 ) δ ( x ,   y ,   z ) d x d y d z

I z = ∫ ∫ ∫ Q ( x 2 + y 2 ) δ ( x ,   y ,   z ) d x d y d z

onde δ ( x ,   y ,   z ) é a densidade do cubo.

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nesse caso, já podemos calcular o momento de inércia sem maiores dificuldades. Vamos começar calculando o momento de inércia em relação ao eixo x .

cubo o de densidade constante k e aresta L se um dos seus vértices é a origem e três de suas arestas estão sobre os eixos coordenados.

Então temos que:

δ ( x ,   y ,   z ) = k

e

0 ≤ x ≤ L

0 ≤ y ≤ L

0 ≤ z ≤ L

Logo a integral fica

I x = ∫ ∫ ∫ Q ( z 2 + y 2 ) δ ( x ,   y ,   z ) d x d y d z

= ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L ( z 2 + y 2 ) k d x d y d z

integrando em x

= k ∫ 0 L ∫ 0 L L z 2 + L y 2 d y d z

integrando em y

= k ∫ 0 L L 2 z 2 + L 4 / 3 d z

E integrando em z

= k ( L 5 / 3 + L 5 / 3 )

Logo, o momento de inércia em relação ao eixo x é:

2 k L 5 / 3

Agora, note que a densidade é homogênea e nosso domínio é um cubo. Os momentos de inércia nos outros eixos também serão iguais ao do eixo x . Então concluímos que

I x = I y = I z = 2 k L 5 / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

I x = I y = I z = 2 k L 5 / 3

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