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Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Sólidos

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Exercício 51234678910

Enunciado

A tendência de um sólido para resistir a uma mudança no movimento rotatório em torno de um eixo é medida por seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se um sólido ocupa uma região G num sistema de coordenadas x y z e se sua função densidade δ ( x , y , z ) for contínua em G , então os momentos de inércia em torno dos eixos x ,   y e z são denotados, respectivamente, por I x ,   I y e I z e são definidos por

I x = ∭ G y 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d V

I y = ∭ G x 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d V

I z = ∭ G x 2 + y 2 δ x ,   y ,   z d V

Determine o momento de inércia, I y , para o cilindro sólido x 2 + y 2 ≤ a 2 ,     0 ≤ z ≤ h de densidade δ constante.

(OBS: A diferença desse exercício pro anterior é que esse aqui pede o momento de inércia em y , o anterior pedia em z )

Passo 1

Como sabemos, o momento de inércia de um sólido W em relação ao eixo z é dado por:

I y = ∭ W   x 2 + z 2 δ ( x , y , z ) d V

Onde δ ( x , y , z ) é a função densidade. Porém, como o problema diz, a densidade é dada por uma constante δ , logo:

I y = δ ∭ W   x 2 + z 2 d V

Passo 2

Agora vamos descrever o sólido matematicamente, como é um cilindro vamos usar coordenadas cilíndricas,

x = r ⋅ cos ⁡ θ y = r ⋅ s e n   θ z = z

Os limites de integração são,

0 ≤ z ≤ h

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Por fim, vamos resolver a integral, substituindo para coordenadas cilíndricas d V = r d z d r d θ , logo:

I y = δ ∭ W   r 2 cos 2 ⁡ θ + z 2 d V

I y = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 h r 2 cos 2 ⁡ θ + z 2 r d z d r d θ =   δ ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 3 cos 2 ⁡ θ ⋅ z + z 3 3 r 0 h   d r d θ

I y =     δ ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 3 cos 2 ⁡ θ ⋅ h + h 3 3 r   d r d θ

I y =     δ ∫ 0 2 π r 4 4 cos 2 ⁡ θ ⋅ h + h 3 3 r 2 2 0 a   d θ

I y =     δ ∫ 0 2 π h a 4 4 cos 2 ⁡ θ + h 3 a 2 6   d θ    

Para não ficar muita informação, vamos calcular separadamente

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Usando o arco duplo, cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1 ,

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ + 1 2 d θ = 1 2 s e n   2 θ + θ 0 2 π = π

Voltando para o momento de inércia,

I y =     δ h a 4 4 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ + h 3 a 2 6 ∫ 0 2 π d θ  

Substituido o que calculamos,

I y = δ h a 4 4 π + h 3 a 2 3 π    

Resposta

I y = δ h a 4 4 π + h 3 a 2 3 π    

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