Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Sólidos

Ver Teoria
Exercício 21345678910

Enunciado

A tendência de um sólido para resistir a uma mudança no movimento rotatório em torno de um eixo é medida por seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se um sólido ocupa uma região G num sistema de coordenadas x y z e se sua função densidade δ ( x , y , z ) for contínua em G , então os momentos de inércia em torno dos eixos x ,   y e z são denotados, respectivamente, por I x ,   I y e I z e são definidos por

I x = ∭ G y 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d V

I y = ∭ G x 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d V

I z = ∭ G x 2 + y 2 δ x ,   y ,   z d V

Determine o momento de inércia, I z , para o cilindro sólido a 1 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2 2 ,     0 ≤ z ≤ h de densidade δ constante.

Passo 1

Como sabemos, o momento de inércia de um sólido W em relação ao eixo z é dado por:

I z = ∭ W   x 2 + y 2 δ ( x , y , z ) d V

Onde δ ( x , y , z ) é a função densidade. Porém, como o problema diz, a densidade é dada por uma constante δ , logo:

I z = δ ∭ W   x 2 + y 2 d V

Passo 2

Agora vamos descrever o sólido matematicamente, como é um cilindro vamos usar coordenadas cilíndricas,

x = r ⋅ cos ⁡ θ y = r ⋅ s e n   θ z = z

Os limites de integração são,

0 ≤ z ≤ h

a 1 ≤ r ≤ a 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Por fim, vamos resolver a integral, substituindo para coordenadas cilíndricas d V = r d z d r d θ , logo:

I z = δ ∭ W   r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ r d z d r d θ

Usando a relação fundamental da trigonometria, s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

I z = δ ∭ W   r 2 r d z d r d θ

I z = δ ∫ 0 2 π ∫ a 1 a 2 ∫ 0 h r 2   r d z d r d θ =   δ ∫ 0 2 π ∫ a 1 a 2 r 3   h d z d r d θ

I z =   δ ⋅ 2 π ⋅ h ⋅ r 4 4 a 1 a 2 = δ π h ( a 2 4 - a 1 2 ) 2

Resposta

I z = δ π h ( a 2 4 - a 1 2 ) 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que o sólido tenha densidade constante k .Encontre os momentos de inércia de um tijolo retangular com dimensões a ,b e c e massa M se o centro do tijolo está localizado na origem e as arestas
Suponha que o sólido tenha densidade constante k .Encontre os momentos de inércia para um cubo com comprimento do lado L se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordena
Calcular o momento de inércia do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,x ≥ 0 em relação ao eixo y . A densidade no ponto P ( x , y , z ) é proporcional à distância de P ao plano y z .
Calcular o momento de inércia em relação aos eixos coordenados do sólido delimitado por z = 4 - x 2 - y 2 e z = 0 , sabendo que a densidade de massa em um ponto P é proporcional à distância de P ao pl
Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos x do sólido delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 4 . A densidade de massa em um ponto P x , y , z é dada por x 2k g / m 3 .