USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 26
Calcule , onde .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla , da região limitada pelo elipsoide para .
Pra isso, vamos precisar lembrar que a equação de um elipsoide geralmente tem a forma . Assim, os tamanhos máximos nos eixos , , são , e , respectivamente. Então, pra calcular essa integral, vamos usar a transformação:
Porque essa mudança de coordenadas vai nos levar para o espaço , , , que transforma nosso elipsoide em uma esfera, ficando:
Neste espaço, devemos nos atentar para os limites de integração de cada coordenada:
Dessa forma, nossa integral tripla vai ficar:
Onde é o Jacobiano da transformação, dado por:
Então, vamos calcular esse determinante, substituir na integral. Como essa transformação nos dá uma esfera, vamos usar também as relações das coordenadas esféricas para calcular, fazendo:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo a transformação para o elipsoide :
Assim, calculando nosso Jacobiano:
Substituindo na integral, teremos:
Passo 3
Agora que transformamos nosso elipsoide em uma esfera , vamos usar as coordenadas esféricas para nos ajudar a calcular a integral.
Como ela tem raio e a condição do enunciado é de que seja positivo, nossos intervalos de integração podem ser definidos como:
Assim, montando nossa integral, teremos:
Passo 4
Então, integrando primeiro em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Integrando agora em relação a , temos:
Aplicando os limites em :
Por fim, integramos em relação a usando a identidade trigonométrica :
Aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉