Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Calcule ∭ E x   d x d y d z , onde E = x ,   y ,   z : x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 ,   x ≥ 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla ∭ E x   d x d y d z , da região limitada pelo elipsoide x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 para x ≥ 0 .

Pra isso, vamos precisar lembrar que a equação de um elipsoide geralmente tem a forma x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 . Assim, os tamanhos máximos nos eixos x , y , z são a , b e c , respectivamente. Então, pra calcular essa integral, vamos usar a transformação:

x = a u ,     y = b v ,     z = c w

Porque essa mudança de coordenadas vai nos levar para o espaço u , v , w , que transforma nosso elipsoide em uma esfera, ficando:

u 2 + v 2 + w 2 = 1

Neste espaço, devemos nos atentar para os limites de integração de cada coordenada:

S = u ,   v ,   w ∈   R 3     0 ≤ u ≤ a ,   0 ≤ v ≤ b ,   0 ≤ w ≤ c }

Dessa forma, nossa integral tripla vai ficar:

∭ E x   d x d y d z = ∭ S J ∙ d u d v d w

Onde J é o Jacobiano da transformação, dado por:

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w

Então, vamos calcular esse determinante, substituir na integral. Como essa transformação nos dá uma esfera, vamos usar também as relações das coordenadas esféricas para calcular, fazendo:

u = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ v = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ w = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sin ⁡ ϕ

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo a transformação para o elipsoide x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 :

x = a u → x = 2 u y = b v → y = 3 v z = c w → z = 1 w

Assim, calculando nosso Jacobiano:

J ( u ,   v ,   w ) = a 0 0 0 b 0 0 0 c = 2 0 0 0 3 0 0 0 1 = 6

Substituindo na integral, teremos:

∭ E x   d x d y d z = ∭ S 2 u ∙ J   d u d v d w

= ∭ S 12 u   d u d v d w

Passo 3

Agora que transformamos nosso elipsoide em uma esfera u 2 + v 2 + w 2 = 1 , vamos usar as coordenadas esféricas para nos ajudar a calcular a integral.

u = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ v = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ w = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

Como ela tem raio 1 e a condição do enunciado é de que x seja positivo, nossos intervalos de integração podem ser definidos como:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ 2 π

Assim, montando nossa integral, teremos:

∭ S 12 u   d u d v d w = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 12 ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 12 ρ 3 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ d ρ d θ d ϕ

Passo 4

Então, integrando primeiro em relação a ρ :

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 12 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ ρ 4 4 0 1 d θ d ϕ

Aplicando os limites de integração em ρ :

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 12 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ 1 4 - 0 4 d θ d ϕ

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 3 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ d θ d ϕ

Integrando agora em relação a θ , temos:

∫ 0 2 π 3 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ 0 π / 2 d ϕ

Aplicando os limites em θ :

∫ 0 2 π 3 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ π 2 - sin ⁡ 0 d ϕ

∫ 0 2 π 3 sin 2 ⁡ ϕ 1 - 0 d ϕ = ∫ 0 2 π 3 sin 2 ⁡ ϕ d ϕ

Por fim, integramos em relação a ϕ usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ ϕ = 1 - cos ⁡ ( 2 ϕ ) 2 :

∫ 0 2 π 3 2 1 - cos ⁡ ( 2 ϕ ) d ϕ = 3 2 ϕ - 1 2 sin ⁡ 2 ϕ 0 2 π

Aplicando os limites de integração em ϕ :

3 2 2 π - 1 2 sin ⁡ 4 π - 0 + 1 2 sin ⁡ 0

3 2 ( 2 π - 0 - 0 + 0 )

= 3 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 π

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