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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Exercício 123456789101112

Enunciado

Seja D a região no espaço x y z definida pelas desigualdades

1 ≤ x ≤ 2 ,     0 ≤ y ≤ 2 ,       0 ≤ z ≤ 1

Calcule

∭ D x 2 y + 3 x y z d x d y d z

Aplicando a transformação

u = x ,     v = x y ,     s = 3 z

E integrando sobre uma região apropriada G no espaço u v s .

Passo 1

Para mudança de variáveis devemos fazer

∭ D   f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Q   f ( u , v , s ) ∂ x , y , z ∂ ( u , v , s ) d u d v d s

Onde o jacobiano é dado por:

J = ∂ x , y , z ∂ ( u , v , s ) = d x d u d x d v d x d s d y d u d y d v d y d s d z d u d z d v d z d s

Passo 2

Toma cuidado agora galera! Lembra sempre que para usar o determinante dessa matriz direto na integral ( x , y , z ) devem ser funções de ( u , v , s ) . Aqui, a gente tem exatamente o contrário, então devemos fazer

J ⋆ = ∂ u , v , s ∂ ( x , y , z ) = d u d x d u d y d u d z d v d x d v d y d v d z d s d x d s d y d s d z = 1 0 0 y x 0 0 0 3 = 3 x = 3 u

Agora, basta invertermos o resultado aí de cima

J = 1 J ⋆ = 1 3 u

Passo 3

Pronto, agora podemos substituir na integral e resolver! Mas antes disso, vamos encontrar o intervalo de integração das novas variáveis:

Como, 1 ≤ x ≤ 2 ,     0 ≤ y ≤ 2 ,       0 ≤ z ≤ 1 , temos que:

1 ≤ u ≤ 2

0 ≤ v u ≤ 2 →   0 ≤ v ≤ 2 u  

Além disso, pela terceira expressão temos que z = s 3 . Então,

0 ≤ s 3 ≤ 1 →     0 ≤ s ≤ 3  

Passo 4

Agora sim vamos substituir na integral,

∭ D   ( x 2 y + 3 x y z ) d x d y d z = ∭ Q   u v + v s ⋅ 1 3 u d u d v d s

Agora, vamos subsitutir os valores dos limites de integração

∫ 0 3 ∫ 1 2 ∫ 0 2 u u v + v s ⋅ 1 3 u d v d u d s

Passo 5

Resolvendo a integração em v temos

∫ 0 3 ∫ 1 2 ∫ 0 2 u u v + v s ⋅ 1 3 u d v d u d s = ∫ 0 3 ∫ 1 2 u v 2 2 + v 2 s 2 1 3 u 0 2 u d u d s

∫ 0 3 ∫ 1 2 2 u 3 + 2 u 2 s 1 3 u d u d s = 1 3 ∫ 0 3 ∫ 1 2 2 u 2 + 2 u s d u d s

Passo 6

Resolvendo a integração em u temos

1 3 ∫ 0 3 ∫ 1 2 2 u 2 + 2 u s d u d s = 1 3 ∫ 0 3 2 u 3 3 + u 2 s 1 2 d s

1 3 ∫ 0 3 14 3 + 3 s d s

Passo 7

Resolvendo, finalmente, a integral em s :

1 3 ∫ 0 3 14 3 + 3 s d s = 1 3 14 s 3 + 3 s 2 2 0 3 = 1 3 14 + 27 2 = 55 6

Resposta

∭ D x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 55 6

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