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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Exercício 213456789101112

Enunciado

Seja G o sólido do espaço tridimensional definido pelas desigualdades

1 - e x ≤ y ≤ 3 - e x ,     1 - y ≤ 2 z ≤ 2 - y ,       y ≤ e x ≤ y + 4

  1. Usando a transformação de coordenadas

    2. u = e x + y ,     v = y + 2 z ,       w = e x - y

    Calcule o jacobiano ∂ x ,   y ,   z ∂ ( u ,   v ,   w ) . Expresse sua resposta em termos de u ,   v ,   w

  2. Usando uma integral tripla e a mudança de variável dada em (a), encontre o volume de G .

Passo 1

Para calcular o Jacobiano pedido usamos a seguinte fórmula,

J = ∂ x , y , z ∂ ( u , v , w ) = d x d u d x d v d x d w d y d u d y d v d y d w d z d u d z d v d z d w

Mas cuidado, porque para usar essa fórmula direto precisamos ter ( x , y , z ) funções de u , v , w . Como não temos isso, vamos calcular

J ⋆ = ∂ u , v , w ∂ ( x , y , z ) = e x 1 0 0 1 2 e x - 1 0 = 4 e x

Passo 2

Ué, a resposta pode ficar com ( x , y , z ) ? NÃO!!

Precisamos brincar com a transformação dada para obter J ⋆ com ( u , v , w ) . Vem comigo:

u = e x + y w = e x - y → u + w = 2 e x ∴ 2 u + w = 4 e x

Assim, J ⋆ = 2 u + w .   Ae agora acabou? NÃO!! Precisamos inverter

J = 1 J ⋆ = 1 2 u + w

Passo 3

Mas antes de calcular o volume vamos estudar os limites das nossas novas variáveis, do enunciado sabemos que:

1 - e x ≤ y ≤ 3 - e x ,     1 - y ≤ 2 z ≤ 2 - y ,     y ≤ e x ≤ y + 4

Como,

u = e x + y ,     v = y + 2 z ,       w = e x - y

Vamos ter o seguinte, para a variável u vamos somar e x em todos os termos da primeira desigualdade:

1 - e x ≤ y ≤ 3 - e x

1 ≤ y + e x ≤ 3

1 ≤ u ≤ 3

Para a variável v , vamos somar y em todos os termo da segunda desigualdade:

1 - y ≤ 2 z ≤ 2 - y

1 ≤ 2 z + y ≤ 2

1 ≤ v ≤ 2

Por último, subtraindo y em todos os termos da terceira desigualdade teremos:

y ≤ e x ≤ y + 4

0 ≤ e x - y ≤ 4

0 ≤ w ≤ 4

Resumindo, temos os seguintes limites:

1 ≤ u ≤ 3

1 ≤ v ≤ 2

0 ≤ w ≤ 4

Passo 4

O volume do sólido é dado por,

V = ∭ G d V = ∭ T J u ,   v ,   w d u d v d w

V = ∫ 1 3 ∫ 1 2 ∫ 0 4   1 2 u + w d w d v d u  

V = 1 2 ∫ 1 3 ∫ 1 2 ( ln ⁡ u + 4 - ln ⁡ ( u + 0 ) ) d v d u    

V = 1 2 ∫ 1 3 ( ln ⁡ u + 4 - ln ⁡ u ) ⋅ ( 2 - 1 ) d u

Mas,

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - 1 + C

Assim,

V = 1 2 u + 4 ( ln ⁡ u + 4 - 1 )   - u ( ln ⁡ u - 1 ) 1 3

V = 1 2 7 ( ln ⁡ 7 - 1 - 3 ln ⁡ 3 - 1 - 5 ln ⁡ 5 - 1 + 1 ( ln ⁡ 1 - 1 ) )  

V = 1 2 ( 7 ln ⁡ 7 - 5 ln ⁡ 5 - 3 ln ⁡ 3 - 8 + 8 + ln ⁡ 1 )

V = 1 2 7 ln ⁡ 7 - 5 ln ⁡ 5 - 3 ln ⁡ 3

Resposta

J u ,   v ,   w =   1 2 u + w

V = 1 2 ( 7 ln ⁡ 7 - 5 ln ⁡ 5 - 3 ln ⁡ 3 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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