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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Exercício 121234567891011

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 25

Calcule o volume da região limitada pelo elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular volume da região limitada pelo elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 . Repare que os tamanhos máximos nos eixos x , y , z são a , b e c , respectivamente. Então, pra calcular esse volume, vamos usar a transformação:

x = a u ,     y = b v ,     z = c w

Porque essa mudança de coordenadas vai nos levar para o espaço u , v , w , que transforma nosso elipsoide em uma esfera, ficando:

u 2 + v 2 + w 2 = 1

Neste espaço, devemos nos atentar para os limites de integração de cada coordenada:

S = u ,   v ,   w ∈   R 3     0 ≤ u ≤ a ,   0 ≤ v ≤ b ,   0 ≤ w ≤ c }

Outro ponto importante da transformação, é que nossa integral de volume vai ficar:

V = ∭ V d x d y d z = ∭ S J ∙ d u d v d w

Onde J é o Jacobiano da transformação, dado por:

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w

Então, vamos calcular esse determinante, substituir na integral e obter nosso volume V .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando nosso Jacobiano:

J ( u ,   v ,   w ) = a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

Substituindo na integral do volume:

V = ∭ S J ∙ d u d v d w = a b c ∭ S d u d v d w

Como essa integral representa o volume de uma esfera de raio 1 e o volume de uma esfera é dada pela fórmula V = 4 3 π r 3 , vamos ter:

a b c ∭ S d u d v d w = 4 3 π 1 3

= 4 3 π a b c

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 4 π a b c 3

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