UFABC-Função de uma variável - Lista 11 integral imprópria
Determine o Determinante Jacobiano da transformação:
Passo 1
Pessoal aqui é uma questão padrão quando vai avançando na área de funções de várias variáveis.
Em geral são questões bem simples de resolver, ok?
Mas vamos lá, quando tu fazes uma mudança de variáveis tu meio que deforma o espaço para se ajustar ao novo conjunto de variáveis.
MAS PARA TUDO!!!, se eu deformar o espaço então a mudança de variável muda o valor da integral né mesmo?
Mas os matemáticos tão amigáveis do jeito que são, para nos ajudar (às vezes nem tanto :/) descobriram uma forma de corrigir essa deformação de formas simples e que não mude o valor das integrais....
Você sabe qual é? Vamos falar dela agora mesmo
Isso aiiiiiiiiiiiiiiiiii, é o famoso jacobiano :3
Na realidade é o determinante dele KKKK.
Bem, tem muita teoria sobre isso, mas o que nos importa aqui é como calcular. Como nos temos transformações de 3 variáveis o jacobiano tem essa formulinha aqui:
Ou seja, voltamos a calcular derivadas. Iae bora lá?
Passo 2
Bem pessoal, vamos partir da formulinha do jacobiano e para isso precisamos das quatro derivadas, então vamos lá.
Logo, temos que nossa matriz jacobiana se torna:
Calculando o determinante... Lembra?
Como temos uma , é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.
Logo: