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Exercícios Resolvidos de Operações com raízes

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 3, Questão 15

Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. No caso de a afirmação ser falsa, dê um exemplo para justificar.

  1. a + b 3 = a 3 + b 3 ,   ∀   a , b   ∈ R
  2. a b 4 = a 4 b 4   ∀   a , b   ∈ R +
  3. a b 4 = a 4 b 4   ∀   a , b   ∈ R
  4. a b = a b     ∀   a , b   ∈ R * +
  5. a b = a b     ∀   a , b   ∈ R
  6. a - b 5 = a 5 - b 5  
  7. x 3 y 6 = x y   ∀   x , y   ∈ R
  8. ( a - b ) 2 = a - b   ∀   a , b   ∈ R
  9. ( a - b ) 2 = a - b   s e   a > b
  10. ( a - b ) 3 3 = a - b     ∀   a , b   ∈ R

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo. Nosso objetivo é determinar se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Bem, vamos fazer algumas revisões. A primeira é qual a condição para as raízes serem bem definidas?

é bem simples, se o índice da raiz é par, o elemento que queremos tirar a raiz tem que ser positivo. Caso contrário, a operação não estará bem definida.

Além disso, vamos relembrar algumas propriedades da radiciação.

s e   a   f o r   p a r ,   x a a = | x | ,   s e   n ã o   x a a = x    

x b a = x a * b

x * y a = x a *   y a

x a = x 1 / a

x b a = x b / a

Então, vamos calcular as raízes

Passo 2

  1. a + b 3 = a 3 + b 3 ,   ∀   a , b   ∈ R

    2. Vamos dar um contra exemplo, fazendo a = b = 1

    2 3 = 1 3 + 1 3 = 2

    que é falso, logo a igualdade é falsa

  2. a b 4 = a 4 b 4   ∀   a , b   ∈ R +

    3. Olhando a nossa revisão e com o fato que a , b   ∈ R + . Então essa afirmação é verdadeira

  3. a b 4 = a 4 b 4   ∀   a , b   ∈ R

    4. Tome a = b = - 1

    1 4 = - 1 4 - 1 4   ∀   a , b   ∈ R

    mas as raízes da direita não estão bem definidas, logo a igualdade é falsa

  4. a b = a b     ∀   a , b   ∈ R * +

    5. seguindo nossa revisão e como   a , b   ∈ R * + temos que

    a b = a * 1 b = a * 1 b = a b

    Então a afirmação é verdadeira

  5. a b = a b     ∀   a , b   ∈ R

    6. é falsa, basta tomar b = 0 que as frações não serão bem definidas

  6. a - b 5 = a 5 - b 5  

    7. Vamos tomar a = 2 ,   b = 1

    1 5 = 2 5 - 1 5  

    ⇒ 2 5 = 2

    O que é falso, logo a igualdade não é verdadeira.

  7. x 3 y 6 = x y   ∀ �� x , y   ∈ R

    8. Tome x = - 1 , y = 1

    - 1 6 = - 1

    usando as propriedades que revisamos vemos que essas raízes não são bem definidas. Logo a igualdade é falsa

  8. ( a - b ) 2 = a - b   ∀   a , b   ∈ R

    9. Tome a = 1 , b = 2

    ( - 1 ) 2 = 1 - 2

    1 = - 1

    O que é um absurdo. Logo a igualdade �� falsa

    - 1 6 = - 1

    usando as propriedades que revisamos vemos que essas raízes não são bem definidas. Logo a igualdade é falsa

  9. ( a - b ) 2 = a - b   s e   a > b

    10. Se a > b ⇒ a - b > 0 . Logo pela nossa revisão, temos que

    ( a - b ) 2 = | a - b | = a - b

    pois a - b > 0

  10. ( a - b ) 3 3 = a - b     ∀   a , b   ∈ R

Ao olharmos a nossa revisão, podemos ver que a igualdade é verdadeira

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de pré-cálculo, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento acima