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Exercícios Resolvidos de Órbitas em Torno do Centro de Massa

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Exercício 61234578910

Enunciado

Um planeta com massa de m   =   7 × 10 21   k g está em órbita circular ao redor de uma estrela de massa M   =   2 × 10 30   k g . O planeta tem um raio orbital R   =   3 × 10 8   m . Considerar G   =   6,67   ×   10 - 11   m 3   k g - 1   s - 2 .

a) Qual é a expressão da velocidade orbital linear do planeta, em função de G ,   m ,   M   e   R ?

b) Qual é a expressão do período da órbita do planeta, em função de G ,   m ,   M   e   R ?

c) Qual é a expressão da energia mecânica total do planeta, em função de G ,   m ,   M   e   R ?

d) Qual é o valor da energia mecânica total do planeta?

Passo 1

A) Supondo que o planeta realiza uma órbita circular em torno da estrela, vamos ter que a força gravitacional sobre o planeta exercerá função de força centrípeta, ou seja,

F C = F G

m v 2 R = G M m R 2

Simplificando os termos, chegamos

v 2 = G M R

v = G M R

Passo 2

B) Aqui basta lembrar a definição de período! O período é o tempo gasto pro planeta executar uma volta completa em torno da estrela. Se a órbita é circular e tem raio R e o planeta tem velocidade v , então o período é dado por

v = Δ S T → T = Δ S v

Como uma volta completa é 2 π R , então teremos

T = 2 π R v

Subsituindo o valor de v do passo anterior

T = 2 π R G M R = 2 π R   R G M

Pode deixar assim, ou pra deixar mais bonitinho, pode colocar o R de fora pra dentro da raiz

T = 2 π R   R G M = 2 π   R × R 2 G M

T = 2 π R 3 G M

Passo 3

C)

A energia mecânica total do sistema será a soma da energia potencial com a energia cinética

E T = E c + E P

Sabemos que

E P = - G M m R

e

E C = m v 2 2

Assim

E T = - G M m R + m v 2 2

Só que temos que deixar a reposta em função de G , m , M e R . Pra isso vamos substituir o valor de v que achamos no passo 1!

E T = - G M m R + m 2 G M R 2 = - G M m R + G M m 2 R

Logo

E T = - 1 2 G M m R  

Passo 4

d) Aqui é só substituir os valores numéricos! Lembrando que o raio orbital é o raio da órbita do planeta em torno da estrela, beleza? ;)

E T = - 1 2 6,67 × 10 - 11 × 2 × 10 30 × 7 × 10 21 3 × 10 8

E T = - 1,56 × 10 33 J

Resposta

A) G M R

B) 2 π R 3 G M

C) - 1 2 G M m R

D) - 1,56 × 10 33 J

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