Em um sistema binário de estrelas, duas estrelas descrevem órbitas circulares em torno de seu centro de massa comum. Se as estrelas possuem massas m 1 e m 2 e estão separadas por uma distância r , mostre que o período de rotação está relacionado a r através de:

T 2 = 4 π 2 r 3 G m 1 + m 2

Passo 1

Tá, nesse problema nós temos duas estrelas descrevendo órbitas circulares em torno do seu centro de massa comum.

Vamos considerar que a estrela de massa m 1 dista r 1 do centro de massa e a outra dista r 2 .

Logo, temos que:

r = r 1 + r 2

Pela fórmula do centro de massa, temos:

m 1 r 1 = m 2 r 2 → m 1 r - r 2 = m 2 r 2 → r 2 = r m 1 m 1 + m 2

Vamos deixar esse resultado guardado por um tempo.

Passo 2

-

Vamos agora calcular a força gravitacional que age na massa m 1 (que é a mesma que age na massa m 2 ):

F = G m 1 m 2 r 1 + r 2 2

Essa força também é centrípeta. Logo:

F = G m 1 m 2 r 1 + r 2 2 = m 2 ω 2 r 2 → ω 2 = G m 1 r 2 r 1 + r 2 2 = G m 1 r 2 r 2

Substituindo a expressão que obtivemos no passo 1 nessa equação, teremos:

ω 2 = G m 1 ( m 1 + m 2 ) r m 1 r 2 = G m 1 + m 2 r 3

Mas também sabemos que:

ω = 2 π T → T 2 = 4 π 2 ω 2

Logo:

T 2 = 4 π 2 r 3 G m 1 + m 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Órbitas em Torno do Centro de Massa

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

12.54. Suponha que a órbita da Lua em torno da Terra seja circular. A partir do período orbital de 27,3 dias, calcule a distância da Lua ao centro da Terra. Suponha que o movimento da Lua seja determi
Nos Problemas de 65 a 68, você recebe a(s) equação(ções) usada(s) para solucionar cada problema. Em cada caso, você deve: a. Redigir um problema realista para o qual esta seja a equação correta. b. Fa
Os astrônomos descobriram um sistema estelar binário com período de translação de 90 dias. O sistema consiste de duas estrelas de mesma massa, duas vezes maior que a do Sol, que giram como um haltere
O diâmetro angular aparente do Sol visto da Terra (ângulo subentendido pelo disco solar) é de 0,55 ° . Utilizando apenas estes dados, juntamente com o período da órbita da Terra em torno do Sol, aprox
O sistema binário de Plaskett consiste em duas estrelas que giram numa órbita circular em torno de um centro de massa a meio caminho entre elas. Essa afirmação implica que as massas das duas estrelas