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Exercícios Resolvidos de Pêndulo de Torção

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Exercício 4123567891011

Enunciado

Uma roda pode girar livremente em torno do seu eixo fixo. Uma mola de constante k é presa a um dos raios a uma distância R do eixo. Suponha que a roda é um anel de massa m e raio R, cujo momento de inércia é igual a I = m R 2 .

a) Calcule a frequência angular ω das pequenas oscilações desse sistema, em termos de m, R, r e k.

b) Suponha que o deslocamento angular máximo de um ponto do anel seja θ 0 e que tem t = 0 s o deslocamento angular desse ponto seja metade desse valor. Escreva a equação do movimento angular do anel.

c) Se o anel tem uma massa m = 3 kg, a constante da mola é k = 100 N/m, θ 0 = 0,01 rad e r   =   R / 2 , calcule a velocidade angular de um ponto do anel em t = 0 s.

Passo 1

a) Vou considerar que a roda gira um ângulo θ em torno do eixo fixo. Para pequenos valores de θ , podemos dizer que a elongação x da mola é:

x = r θ

Escrevendo a segunda lei de Newton para rotações:

τ = I ∂ 2 θ ∂ t 2 = - F r = - k x r = - k r 2 θ

I ∂ 2 θ ∂ t 2 + k r 2 θ = 0

∂ 2 θ ∂ t 2 + k r 2 θ I = 0

∂ 2 θ ∂ t 2 + k r 2 θ m R 2 = 0

Comparando com a equação do MHS:

∂ 2 θ ∂ t 2 + ω 2 θ = 0

Tiramos que:

ω 2 = k r 2 m R 2

ω = r R k / m

Passo 2

b) A equação do movimento do anel vai ser da forma:

θ t = θ 0 cos ⁡ ( ω t + φ )

O problema disse que:

θ 0 = θ 0 cos ⁡ ( φ ) = θ 0 2

cos ⁡ ( φ ) = 1 2

φ = π 3 ,   φ = - π 3

Então:

θ t = θ 0 cos ⁡ r R k m t ∓ π 3

Passo 3

c) A velocidade angular vai ser:

ω t = d θ d t = - ω θ 0 sin ⁡ ω t ∓ π 3

ω 0 = - 0,01 ∙ 1 2 100 3 ∙ sin ⁡ ∓ π 3

ω 0 = - 0,01 ∙ 1 2 100 3 ∙ ∓ 3 2

Fazendo algumas continhas achamos:

ω 0 = ± 0,025   r a d / s

Resposta

a) ω = r R k / m

b) θ t = θ 0 cos ⁡ r R k m t ∓ π 3

c) ω 0 = ± 0,025   r a d / s

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