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Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Exercício 141234567891011121315161718

Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 8.

8. (1EE-2017.2) Dizemos que duas curvas são tangentes em um determinado ponto quando possuem a mesma reta tangente neste ponto. Mostre que a parábola 2 y - x 2 = 1 é tangente à cúbica y 3 + x y 2 = 2 x 3 no ponto P = 1,1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que mostrar que as curvas 2 y - x 2 = 1 e y 3 + x y 2 = 2 x 3 são tangentes no ponto P = 1,1 .

E aí, tem ideia de como fazer isso? 🤔

O que é a função que representa a tangência de uma curva em um ponto? A derivada dessa curva, não é? 😉

Então para mostrar que a curva C 1 : 2 y - x 2 = 1 e a curva C 2 :   y 3 + x y 2 = 2 x 3 são tangentes, temos que calcular o vetor unitário do gradiente de C 1 e C 2 e substituir o ponto P . Se resultar no mesmo valor, então as curvas são tangentes...

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Passando todos os termos para um lado da igualdade em C 1 e C 2 , temos

2 y - x 2 = 1 → C 1 = 2 y - x 2 - 1

y 3 + x y 2 = 2 x 3 → C 2 = y 3 + x y 2 - 2 x 3

Calculando as derivadas de C 1 e C 2 ...

∇ C 1 = ∂ C 1 ∂ x , ∂ C 1 ∂ y

Pelo método de derivação polinomial

∂ C 1 ∂ x = 0 - 2 x 2 - 1 - 0 = - 2 x

∂ C 1 ∂ y = 2 - 0 - 0 = 2

Para C 2 , temos

∇ C 2 = ∂ C 2 ∂ x , ∂ C 2 ∂ y

Pelo mesmo método de derivação

∂ C 2 ∂ x = 0 + y 2 - 6 x 3 - 1 = - 6 x 2 + y 2

∂ C 2 ∂ y = 3 y 3 - 1 + 2 x y 2 - 1 - 0 = 2 x y + 3 y ²

Assim ∇ C 1 e ∇ C 2 são dados por

∇ C 1 = - 2 x , 2 ,     ∇ C 2 = - 6 x 2 + y 2 , 2 x y + 3 y ²

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo as coordenadas do ponto P em ∇ C 1 e em ∇ C 2 , vamos obter que

P = 1,1 → ∇ C 1 = - 2 1 , 2 ∇ C 2 = - 6 1 2 + 1 2 , 2 1 1 + 3 1 ²

P = 1,1 → ∇ C 1 1,1 = - 2,2 ∇ C 2 1,1 = - 5 , 5

Dividindo ∇ C 1 1,1 e ∇ C 2 1,1 pelo seu modulo para obter o vetor unitário, chagamos em

∇ C 1 1,1 ∇ C 1 1,1 = - 2,2 - 2 2 + 2 2 ,     ∇ C 2 1,1 ∇ C 2 1,1 = - 5 , 5 - 5 2 + 5 2

∇ C 1 1,1 ∇ C 1 1,1 = - 2,2 4 + 4 ,     ∇ C 2 1,1 ∇ C 2 1,1 = - 5,5 25 + 25

∇ C 1 1,1 ∇ C 1 1,1 = - 2,2 8 ,     ∇ C 2 1,1 ∇ C 2 1,1 = - 5,5 50

∇ C 1 1,1 ∇ C 1 1,1 = - 2,2 2 2 ,     ∇ C 2 1,1 ∇ C 2 1,1 = - 5,5 5 2

∇ C 1 1,1 ∇ C 1 1,1 = - 1 2 , 1 2 ,     ∇ C 2 1,1 ∇ C 2 1,1 = - 1 2 , 1 2

Por fim, temos que verificar se C 1 e C 2 possuem o mesmo valor em 1,1

Isolando y e fazendo x = 1

C 1 1 , y :   2 y - 1 2 = 1 → y = 1

C 2 1 , y :   y 3 + y 2 = 2 → y = 1

Assim, como ∇ C 1 1,1 ∇ C 1 1,1 = ∇ C 2 1,1 ∇ C 2 1,1 e as imagens das curvas são as mesmas, então C 1 e C 2 são tangentes no ponto P = 1,1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∇ C 1 1,1 ∇ C 1 1,1 = ∇ C 2 1,1 ∇ C 2 1,1