Considere a superfície de nível

1. Exiba o vetor normal a em e escreva a equação paramétrica da reta normal a em .
2. Seja a curva espacial obtida pela interseção de com o plano .
   1. Parametrize por uma função vetorial

   Explicitando as funções e os números reais e .

   2. Determine os pontos de interseção da curva espacial com o plano .
   3. Escreva a equação paramétrica do plano ortogonal a em

Calculando :

No ponto :

Agora, para achar a reta normal a , como já sabemos que é um vetor normal a então ele tá na mesma direção da reta normal.

Assim, a equação paramétrica da reta normal a em é:

Vamos parametrizar a curva de interseção entre e o plano dado.

Para isso, vamos isolar o na equação do plano:

E substituir na equação de :

Completando quadrados em :

E isso nada mais é do que a equação de uma circunferência de raio e centro em .

Essa circunferência é a PROJEÇÃO da nossa curva, que é espacial, isto é, tem três componentes, no plano .

Vamos parametrizar essa projeção e depois a gente parametriza a componente que falta, .

A parametrização da circunferência é

Assim, a parametrização de fica:

Portanto, nossa curva espacial é:

Para intersectar o plano é preciso que a componente dela seja nula. Assim,

Ou

Os pontos de interseção da curva com são:

E

Agora, pra fechar, a equação paramétrica do plano normal a é dada por

Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores tangentes ao plano.

Um desses vetores tangentes ao plano (e consequentemente normais a é mais tranquilo de achar, pois a gente sabe que o vetor é normal a . E como está contido em , então ele também é normal a .

Assim,

Além disso, se a gente pensar num vetor que tá na mesma direção da curva , ou seja, o vetor tangente à curva, que é o vetor

Teremos um vetor normal ao plano.

Para encontra-lo, é só derivar a curva e depois substituir no ponto .

Substituindo em , temos

Beleza, mas ainda falta o outro vetor tangente ao plano.

E precisamos encontrar esse outro vetor a partir de informações que a gente já tem.

Vamos com calma. Queremos um vetor tangente ao plano e temos um outro vetor normal ao plano, o vetor , e um vetor tangente ao plano, que é o vetor , pois ele é normal a (e consequentemente a

Esses dois vetores são perpendiculares entre si, mas se fizermos o produto vetorial entre eles, acharemos um terceiro vetor, perpendicular simultaneamente, a esses dois vetores.

E se você pegar sua mão direita e fizer a tal da regra da mão direita, vai ver que com 3 vetores perpendiculares, teríamos 2 vetores perpendiculares entre sim, porém no mesmo plano, e um vetor, perpendicular aos outros dois, e normal ao plano em que os dois primeiros vetores estão.

E agora veja você se essa não é exatamente a situação que queremos? Dois vetores no mesmo plano (tangente à ) e um vetor normal a esse plano.

Certo? Então vamos fazer esse produto vetorial:

Ou qualquer vetor múltiplo desse!

Substituindo tudo na equação paramétrica do plano tangente: