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Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Exercício 123456789101112131415161718

Enunciado

Determine as equações da reta tangente e do plano normal à curva:

σ t = e t - e - t ,   1 - sen ⁡ 2 t , ln ⁡ t 2 + 1

no ponto:

P = 0 ,   1 ,   0

Passo 1

Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa:

P = 0 ,   1 ,   0

Neste caso, temos o ponto, então devemos encontrar t 0 :

σ t 0 = P

e t 0 - e - t 0 ,   1 - sen ⁡ 2 t 0 , ln ⁡ t 0 2 + 1 = 0 ,   1 ,   0

Igualando as três coordenadas:

e t 0 - e - t 0 = 0

1 - sen ⁡ 2 t 0 = 1

ln ⁡ t 0 2 + 1 = 0

Analisando a terceira equação: para o log ser 0 o argumento deve ser 1, ou seja

t 0 2 + 1 = 1 → t 0 2 = 0

Portanto,

t 0 = 0

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

σ t = e t - e - t ,   1 - sen ⁡ 2 t , ln ⁡ t 2 + 1

⇒ σ ' t = e t + e - t ,   - 2 cos ⁡ 2 t , 2 t t 2 + 1

Passo 3

Calcular σ ' t 0 :

t 0 = 0

σ ' t = e t + e - t ,   - 2 cos ⁡ 2 t , 2 t t 2 + 1

⇒ σ ' 0 = e 0 + e - 0 ,   - 2 cos ⁡ 2 0 , 2 0 0 2 + 1

⇒ σ ' 0 = 2 ,   - 2 ,   0

Passo 4

Reta tangente:

Substituir em r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t :

r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t

r t = 0 ,   1 ,   0 + 2 ,   - 2 ,   0 ⋅ t

⇒ r t = 2 t ,   1 - 2 t ,   0

Passo 5

Plano normal:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ σ ' t 0 = 0

x - 0 ,   y - 1 ,   z - 0 ⋅ 2 ,   - 2 ,   0 = 0

2 x - 2 ( y - 1 ) + 0 z = 0

⇒ 2 x - 2 y = - 2

⇒ x - y = - 1

Resposta

Reta tangente:

r t = 2 t ,   1 - 2 t ,   0

t ∈ R

Plano normal:

x - y = - 1