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Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Exercício 312456789101112131415161718

Enunciado

Reta tangente e plano normal

Dada a curva Γ definida por r → t = e t cos ⁡ t ,   e t sen ⁡ t ,   e t , t ≥ 0 .

Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto P = ( - e π , 0 ,     e π ) . Determine, também, uma equação do plano normal (ortogonal) á curva no ponto P .

Passo 1

Encontrar t 0 correspondente ao ponto r → ( t 0 ) ou vice-versa:

Neste caso, temos o ponto, então devemos encontrar t 0 :

r → t 0 = - e π ,   0 ,   e π

⇒ e t 0 cos ⁡ t 0 ,   e t 0 sen ⁡ t 0 ,   e t 0 = - e π ,   0 ,   e π

Igualando as três coordenadas, em especial a última, temos que:

t 0 = π

Passo 2

Calcular r → ' ( t ) :

r → ' t = cos ⁡ t - sen ⁡ t e t , sen ⁡ t + cos ⁡ t e t , e t

Passo 3

Calcular r → ' t 0 :

t 0 = π

r → ' t 0 = r → ' π = cos ⁡ π - sen ⁡ π e π , sen ⁡ π + cos ⁡ π e π , e π

⇒ r → ' π = - 1 - 0 e π , 0 - 1 e π ,   e π

⇒ r → ' π = - e π , - e π ,   e π

Passo 4

Reta tangente:

Substituir em R t = r → t 0 + r → ' t 0 . t :

R t = - e π ,   0 ,   e π + - e π , - e π ,   e π ⋅ t

R t = - e π - e π t ,   - e π t ,   e π + e π t

R t = - e π ( 1 + t ) ,   - e π t ,   e π ( 1 + t )

Passo 5

Plano normal:

x ,   y ,   z ⋅ r → ' t 0 = r → ( t 0 ) ⋅ r → ' t 0

x ,   y ,   z ⋅ - e π , - e π ,   e π = - e π ,   0 ,   e π ⋅ - e π , - e π ,   e π

- e π x - e π y + e π z = - e π - e π + 0 - e π + e π ( e π )

Colocando e π em evidência:

e π - x - y + z = e π ( e π + 0 + e π )

⇒ - x - y + z = 2 e π

- ''

Resposta

Reta tangente:

R t = - e π ( 1 + t ) ,   - e π t ,   e π ( 1 + t )

  t ∈ R

Plano normal:

- x - y + z = 2 e π