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Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Exercício 612345789101112131415161718

Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2016.1, questão 15

Considere a curva C parametrizada por r t = t + 2 ,   t 2 - 1 ,   e 2 t ,   t ∈ R . Então, encontre o plano perpendicular a C no ponto 2 , - 1,1 .

Passo 1

Primeiramente, vamos identificar qual o valor do parâmetro t que satisfaz o ponto 2 , - 1,1 .

Da primeira componente, verificamos que t = 0 .

Passo 2

Perceba que o vetor tangente a curva C , será um vetor normal ao plano perpendicular a C . Vamos calcular o vetor tangente a C :

r ' t = 1 ,   2 t , 2   e 2 t

Para t = 0 ele assume o valor:

r ' 0 = 1 ,   2 0 , 2   e 2 0 = 1,0 , 2

Passo 3

Como esse vetor r ' 0 é normal ao plano perpendicular a C , podemos encontrar a equação desse plano:

r ' 0 . x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Lembrando que x 0 , y 0 , z 0 = 2 , - 1,1 . Substituindo temos:

1,0 , 2 x - 2 , y + 1 , z - 1 = 0

Ajeitando:

x + 2 z = 4

Resposta

x + 2 z = 4