Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 13, Seção 3, Exercício 49
(Cap. 13.3 - Ex. 49) Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão?
O objetivo dessa questãozinha aqui, é encontrar as equações dos planos normal e osculador de uma curva, a partir de um ponto. E o que são esses planos?
O plano normal, é um plano qualquer. Já o plano osculador é um plano bidimensional, que cruza uma determinada curva, em um determinado ponto. A gente pode representar esse tipo de plano de maneira genérica:
Além disso, tem mais um detalhezinho que precisamos olhar! Ao ler o enunciado, a gente vê que ele deu os valores de e . Unindo esses três valores, teremos a função da curva:
Passo 2
Agora que entendemos bem o problema, vamos primeiro calcular o plano normal.
Da literatura, a gente sabe que esse plano tem como vetor normal , que é a derivada da curva.
Então, calculando essa derivada, com base na função da curva determinada no passo anterior, temos que:
Agora, a gente precisa fazer uma relação entre o ponto que foi dado, com as equações de e . E por que isso? Essa relação vai servir pra gente determinar o valor de , em que o vetor normal ao plano se encontra.
A relação é a seguinte:
Da segunda equação (, já vemos que . Então para encontrarmos o vetor normal ao plano basta fazermos
Pronto, já temos o vetor normal! Mas calma lá. Para encontrarmos o plano normal ainda precisamos utilizar mais uma fórmula:
Bora lá então!
Passo 3
Os valores de na fórmula do passo anterior, são o vetor normal ao plano, enquanto que os valores de dizem respeito ao ponto dado no enunciado.
Então, substituindo os valores vamos ter o plano normal:
Passo 4
Agora, partindo para o plano osculador, sabemos da literatura, que ele tem os vetores e o vetor normal se relacionando da seguinte forma: .
A primeira derivada nós já temos do passo 2. Então, basta calcularmos , que é a segunda derivada:
Como já definimos anteriormente no passo 2, sabemos que . Então, substituindo na fórmula acima, temos:
Passo 5
Agora que temos os valores necessários, podemos calcular o vetor binormal , utilizando a regra do determinante:
Podemos simplificar o resultado acima por 18, onde teremos: . Esse valor é o vetor osculador.
Por fim, pra encontrarmos o plano osculador, faremos igual no passo 3 quando encontramos o plano normal:
Os valores de são o vetor osculador ao plano, enquanto que os valores de dizem respeito ao ponto dado no enunciado.
Então, substituindo os valores vamos ter o plano osculador:
Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??
Resposta
Plano normal:
Plano osculador: