Exercícios de Plano Normal a Curva - Lista de Exercícios Resolvida

Determine as equações da reta tangente e do plano normal à curva:

no ponto:

Determine a equação paramétrica da reta tangente e a equação do plano normal à trajetória da curva dada, no ponto dado:

Dada a curva definida por , .

Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . Determine, também, uma equação do plano normal (ortogonal) á curva no ponto .

(Cap. 13.3 - Ex. 49) Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.

(Cap. 13.3 - Ex. 50) Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.

Considere a curva parametrizada por . Então, encontre o plano perpendicular a no ponto .

Considere as superfícies

1. Identifique e esboce
2. Identifique e esboce
3. Dê uma parametrização da curva espacial
4. Ache a equação do plano normal a curva passando pelo ponto

Considere as superfícies

1. Identifique e esboce
2. Identifique e esboce
3. Dê uma parametrização da curva espacial
4. Ache a equação do plano normal a curva passando pelo ponto

Considere a curva espacial parametrizada

Onde

Seja a imagem ou traço de .

1. Escreva uma equação paramétrica da reta tangente à em (ou seja, no ponto ) .Explicite um vetor diretor de .
2. Escreva a equação cartesiana do plano ortogonal à em .

Considere a superfície de nível

1. Exiba o vetor normal a em e escreva a equação paramétrica da reta normal a em .
2. Seja a curva espacial obtida pela interseção de com o plano .
   1. Parametrize por uma função vetorial

   Explicitando as funções e os números reais e .

   2. Determine os pontos de interseção da curva espacial com o plano .
   3. Escreva a equação paramétrica do plano ortogonal a em

Considere a curva espacial parametrizada

Encontre um ponto da curva espacial tal que a reta tangente neste ponto seja paralela ao plano . Dê a equação cartesiana do plano ortogonal à curva espacial neste ponto.

Considere as superfícies

Considere a curva espacial de interseção das superfícies, .

1. Exiba uma parametrização de ,

Satisfazendo

Explicitando , e ,

Considere as duas curvas com parametrização dadas por:

O plano que contém a reta tangente a e a reta tangente a , ambas no ponto é:

5. Nenhuma das alternativas anteriores.

8. (1EE-2017.2) Dizemos que duas curvas são tangentes em um determinado ponto quando possuem a mesma reta tangente neste ponto. Mostre que a parábola é tangente à cúbica no ponto .

Considere as superfícies

Considere e a projeção de no plano .

1. Identifique como uma curva clássica:

• Se é um círculo exiba o centro e o raio

• Se é uma elipse, exiba o centro e os semieixos.

• Se é uma hipérbole, exiba as equações cartesianas das retas assíntotas.

Explicite uma parametrização da curva na forma , onde

2. Explicite uma parametrização da curva na forma

Tal que , explicitando , e .

Calcule .

3. Escreva a equação paramétrica da reta tangente à passando pelo ponto .
4. Escreva a equação cartesiana do plano ortogonal à passando pelo ponto .
5. Escreva um vetor normal à superfície em . Escreva a equação paramétrica do plano tangente à em .

Dada a curva espacial

1. Sabendo que a curva espacial está contida em um cilindro sobre uma curva plana:

a.1. Determine a equação do cilindro

a.2. Esboce

2. Encontre um tempo tal que . Determine um vetor tangente à em e ortogonal à em .
3. Escreva a equação cartesiana do plano , ortogonal à no ponto
4. Considere a curva espacial

Mostre que e são tangentes no ponto , ou seja, mostre que e se interceptam em e tem o mesmo vetor tangente em . Escreva a equação paramétrica da reta , tangente à e em .

Considere a curva parametrizada por:

O plano perpendicular a no ponto é:

a)

b)

c)

d)

e)

Considere a curva parametrizada por , . Uma equação para o plano que passa pelo e é perpendicular a reta tangente a curva nesse ponto é:

a)

b)

c)

d)

e)

f)