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Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

Ver Teoria
Exercício 4123567891011

Enunciado

UFF, Volta Redonda, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas Cálculo Diferencial e Integral II - Lista 2 - Integral Tripla - 2019.1, Questão 6.

6 - Deduza o volume de uma esfera de raio R .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão queremos obter o volume de uma esfera de raio R a partir de uma integral tripla.

Como podemos fazer isso? 🤔

Calculamos o volume de um solido a partir da função 1 usando integrais triplas, por exemplo

∭ W 1 d x d y d z

Porém nosso objetivo é calcular o volume de uma esfera, então temos que converter nossas coordenadas para coordenadas esféricas.

∫ θ i θ f ∫ ϕ i ϕ f ∫ ρ i ρ f ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Em que ρ 2 s e n ϕ é o jacobiano da conversão das coordenadas.

Sacou? Bora lá!

Passo 2

Para uma esfera centrada na origem e de raio R temos que θ i e θ f descrevem todo o ângulo 0 a 2 π , já ϕ f e ϕ i descrevem todo o ângulo de 0 a π e por fim ρ i e ρ f descreve a variação do raio de 0 a R .

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Integrando com relação a ρ e aplicando os limites de integração...

∫ ρ 2 s e n ϕ d ρ = ρ 2 + 1 2 + 1 s e n ϕ = ρ 3 3 s e n ϕ

∫ 0 R ρ 2 s e n ϕ = R 3 3 s e n ϕ

Integrando o resultado com relação a ϕ ...

∫ R 3 3 s e n ϕ d ϕ = - R 3 3 c o s ϕ

∫ 0 π R 3 3 s e n ϕ d ϕ = - R 3 3 c o s π - - R 3 3 c o s 0 = 2 R 3 3

E por fim, fazemos o mesmo para θ

∫ 2 R 3 3 d θ = 2 θ R 3 3

∫ 0 2 π 2 R 3 3 d θ = 4 π R 3 3

E assim chegamos na fórmula do volume da esfera!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

V = 4 π R 3 3

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