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Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

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Exercício 3124567891011

Enunciado

Encontre o valor médio de F x , y , z = x 2 + 9 sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2 , y = 2 e z = 2

Passo 1

Vamos organizar o enunciado, pegamos as informações que nos importam. Primeiramente, a questão diz que o cubo está no primeiro octante, ou seja:

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0

Em seguida ele nos diz que a região D é um cubo, portanto sabemos que o volume será calculado pela fórmula

V D = a 3

Com isso montamos a nossa integral para calcular o valor médio:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D F x , y , z d V

Resta saber o valor do volume e os limites de integração. Fica tranquilo que vamos fazer os dois em passos bem explicadinhos aqui.

Passo 2

Partindo para os limites de integração, sabemos que D é um cubo, por isso seus limites são todos planos com os valores dados no enunciado:

x = 0   e   x = 2

y = 0   e   y = 2

z = 0   e   z = 2

Logo, os limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 2 0 ≤ z ≤ 2

Passo 3

Vamos calcular então o volume de D , que por ser um cubo tem a fórmula

V D = V C u b o = a 3

Note que o nosso cubo tem aresta a = 2 , logo:

V D = 2 3 = 8

Passo 4

Agora só falta juntar tudo e resolver a integral.

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D F x , y , z d V

V a l o r   M é d i o = 1 8 ∫ 0 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 2 + 9   d x d y d z

Integrando em x :

= 1 8 ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 3 3 + 9 x x = 2 x = 0   d y d z = 1 8 ∫ 0 2 ∫ 0 2 8 3 + 18   d y d z

Integrando em y :

= 1 8 ∫ 0 2 ∫ 0 2 62 3 d y d z = 1 8 ∫ 0 2 62 y 3 y = 2 y = 0 d z = 1 8 ∫ 0 2 124 3 d z

Integrando em z :

= 1 8 124 z 3 z = 2 z = 0 = 248 24 = 31 3

V a l o r   M é d i o = 31 3

Resposta

31 3

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