USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 21
Determine o volume da região limitada pelos paraboloides e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume da região limitada pelos paraboloides e . Então, vamos começar visualizando essa região. Temos dois paraboloides, um virado para cima e que passa pela origem, em vermelho e um virado para baixo (por causa dos coeficientes negativos em e ) e que corta o eixo em :
Nós queremos o volume desse sólido, dado por:
Onde é a região limitada pelos paraboloides. Como o sólido possui simetria em relação ao eixo e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas:
Então, vamos descobrir os intervalos de integração e substituir na integral de volume usando as coordenadas cilíndricas.
Vamos lá!
Passo 2
Para o paraboloide em azul, , vamos ter em coordenadas cilíndricas:
E para o paraboloide em vermelho, , vamos ter:
Como os valores de variam entre o paraboloide vermelho e o azul, temos . Além disso, vemos no gráfico que o nosso ângulo varia no intervalo . E já sabemos que , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:
Portanto, descobrimos que . Então, podemos escrever a região como:
Passo 3
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:
Integrando em relação a , temos:
Agora em relação a :
Finalmente, integramos em relação a :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉