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Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

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Exercício 2134567891011

Enunciado

Encontre o valor médio de F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1 , y = 1 e z = 1

Passo 1

Vamos dar uma organizada nas informações que ele deu. Apareceu essa história de primeiro octante de novo, já sabemos que isso quer dizer que

x ≥ 0 ,   y ≥ 0   e   z ≥ 0

De novo a nossa região D é um cubo, então tem um volume conhecido

V D = a 3

Montando a integral do valor médio temos:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D x 2 + y 2 + z 2   d V

Vamos ver passo a passo como calcular o Volume de D e os limites de integração

Passo 2

Olhando para os planos que o enunciado usa para limitar a região D temos:

x = 0   e   x = 1 y = 0   e   y = 1 z = 0   e   z = 1

Com isso os limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1

Passo 3

Sabendo que a nossa região D é um cubo e sabendo a fórmula do volume de um cubo temos que:

V D = V C u b o = a 3

No nosso caso, a = 1 , portanto

V D = 1

Passo 4

Juntando tudo na integral do passo 1 temos:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D F x , y , z d V

V a l o r   M é d i o = 1 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

Integrando em x :

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 3 + x y 2 + x z 2 x = 1 x = 0   d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 3 + y 2 + z 2 d y d z

Integrando em y :

= ∫ 0 1 y 3 + y 3 3 + y z 2 y = 1 y = 0   d z = ∫ 0 1 1 3 + 1 3 + z 2 d z

Integrando em z :

= ∫ 0 1 2 3 + z 2 d z = 2 z 3 + z 3 3 z = 1 z = 0 = 2 3 + 1 3 = 1

V a l o r   M é d i o = 1

Resposta

1

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