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Exercícios Resolvidos de Velocidade de decaimento radioativo

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Exercício 213456789101112131415

Enunciado

Descobriu-se que 2 × 10 - 5 mols de átomos de radônio-222 ( t 1 / 2 = 3,82   d ) entraram num porão fechado cujo volume era 2 × 10 3 m 3 .

a) Qual é a atividade inicial do radônio em picocuries por litro? ( p C i . L - 1 )

b) Quantos átomos de R n 222 permacerão após um dia (24 horas)?

c) Quanto tempo levará para o radnio se decompor a um nível inferior ao recomendado pela Agência de Proteção Ambiental, que é de 4 p C i . L - 1 ?

Passo 1

a) Para calcular a velocidade, precisamos lembrar só da fórmula:

v e l o c i d a d e = k × N

N é a quantidade de átomos envolvidas no processo de decaimento, e isso o enunciado dá pra gente! Para calcular k, vamos usar a meia vida:

t m e i a   v i d a = ln ⁡ 2 k

3,82   d = ln ⁡ 2 k

k = 0,1814   d - 1

A velocidade, então, vai ser:

v e l o c i d a d e = 0,1814   d - 1 × 2 × 10 - 5   m o l s

v e l o c i d a d e = 3,628 × 10 - 6 m o l s / d i a

A atividade em curie (Ci) é calculada por 3,7 × 10 10 desintegrações por segundo, ou seja, 3,7 × 10 10 átomos sofrendo decaimento por segundo! Precisamos fazer umas modificações pra chegar em Curie! Vamos lá:

3,628 × 10 - 6 m o l s × 6,02 × 10 23   á t o m o s 1   m o l = 2,18 × 10 18   á t o m o s

2,18 × 10 18   á t o m o s 1   d i a × 1   d i a 24   h o r a s × 1   h o r a 60   m i n × 1   m i n 60   s e g = 2,528 × 10 13   á t o m o s / s e g

Passando isso para Ci...

1   C i - 3,7 × 10 10   d e s / s e g  

x -   2,528 × 10 13   d e s / s e g

x = 683,2 4   C i

Passo 2

Para calcular em Ci por litro, precisamos levar em conta o volume onde os átomos estão!

2 × 10 3 m 3 = 2 × 10 6 d m 3 = 2 × 10 6 L

683,24   C i 2 × 10 6 L = 3,4162 × 10 - 4   C i / L

Como 1   p i c o c u r i e   =   10 12   C i , essa amostra vai ter uma atividade de 3,4 × 10 8   p C i / L .

Passo 3

b) Para calcular quanto ainda vai ter no porão, vamos usar a fórmula que relaciona quantidade e tempo:

N = N o × e - k t

N o = 2 × 10 - 5 m o l s × 6,02 × 10 23   á t o m o s 1   m o l = 1,204 × 10 19   á t o m o s

N = 1,204 × 10 19   á t o m o s × e - 0,1814   d - 1 ×   1   d

N = 1,004 × 10 19   á t o m o s   d e   R n

Passo 4

c) Para se decompor a uma velocidade de 4 pCi/L, ele vai precisar ter essa velocidade de decaimento:

v e l o c i d a d e = k × N

4   p C i / L = k × N

O k independe da quantidade de material que tem, ele só depende do elemento! Ou seja, com essa fórmula a gente consegue calcular qual quantidade de radnio vai decair nessa velocidade 😊

4   p C i / L = k × N

O único problema é que as unidades estão todas fora do SI! Para não ter problema, vamos voltar pro SI! Em 1 litro...

4   p C i = 4 × 10 - 12 × 3,7 × 10 10   d e s i n t e g r a ç õ e s   p o r   s e g u n d o = 0,148 d e s i n t s

k = 0,1814   d - 1 = 0,1814 1   d i a × 1   d i a 24   h × 1   h o r a 3600   s = 2,1 × 10 - 6 s - 1

Com tudo ajustado, vamos achar N em número de átomos!

0,148 d e s i n t s = 2,1 × 10 - 6 s - 1 × N

N = 7,05 × 10 4   á t o m o s

Isso em 1 L, né? Mas o porão tem 2 × 10 6 L !

N = 7,05 × 10 4   á t o m o s 1   L × 2 × 10 6 L = 1,41 × 10 11   á t o m o s

Ou seja, a partir dessa quantidade a gente vai começar a ter uma velocidade de decaimento de 4 pCi/L. Mas quanto tempo demora pra chegar nessa quantidade?

N = N o × e - k t

1,41 × 10 11   á t o m o s = 1,204 × 10 19   á t o m o s × e - 0,1814   d - 1 × t

- 0,1814   d - 1 × t = ln ⁡ 1,17 × 10 - 8

t = 1 00   d i a s

Resposta

a)   3,4 × 10 8   p C i / L

b) N = 1,004 × 10 19   á t o m o s   d e   R n

c) 100 dias

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