Considere a função . Mostre que a equação possui exatamente três raízes reais distintas.
Passo 1
Novamente, temos que mostrar que há raiz de , mas agora está pedindo não somente uma, mas EXATAMENTE TRÊS. Vamos fazer o seguinte. Vamos achando essas raízes primeiro:
Observando a expressão de , é notável que temos 4 raízes:
Que são , , e , pois esses valores zeram a função:
Para mostrar as raízes na derivada, escolhemos duas raízes para o intervalo do TVM.
Passo 2
Começando com :
Assim, pelo TVM, existe pertencente a que é raiz de . Mostramos que há uma raiz, para mostrar a outra, escolhemos o intervalo seguinte de raízes, ou seja, :
Assim, pelo TVM, existe pertencente a que é raiz de . Mostramos que há duas raízes, para mostrar a última que o problema pede, escolhemos o intervalo seguinte de raízes, ou seja, :
Assim, pelo TVM, existe pertencente a que é raiz de . Legal, mostramos a que há três raízes para .
Passo 3
Está pensando que acabou? Nan Nan Não! Você tem que ter muito cuidado aqui. O problema não pediu somente para mostrar que existem três raízes para , pediu para mostrar que existe EXATAMENTE três raízes para , ou seja, temos que mostrar que não pode existir mais nenhuma. Essa última é mais fácil do que parece.
É um polinômio de grau que tem no máximo raízes reais. Toda vez que derivamos um polinômio, ele cai um grau, ou seja, é um polinômio de grau , que terá no máximo raízes reais. Pronto, é isso!
Resposta
Temos uma raiz , outra e outra .