Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade.

Passo 1

Vamos chamar de g ( t ) e h ( t ) a posição dos dois corredores, então nossa função é f t = g t - h ( t ) . Por hipótese, diremos que f 0 = g 0 - h 0 = 0 , e f b = g b - h b = 0 , onde b representa o tempo final.

Passo 2

Pelo teorema do valor médio, há um tempo c com 0 < c < b , tal que:

f ' c = f b - f 0 b - 0

Mas f b = f ( 0 ) , então f ' c = 0

Desde que f ' c = g ' c - h ' c = 0 , nós temos que g ' c = h ' ( c ) , portanto, no tempo c , ambos os corredores tiveram a mesma velocidade g ' c = h ' ( c ) .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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