(Modifcado) Seja n > 1 um número natural. Aplique o teorema do valor médio para f(x) = raiz(x + 1) no intervalo [n - 1, n]

Passo 1

Pelo teorema do valor médio:

f ' c = f b - f ( a ) b - a ⟹ f ' c = n + 1 - n n + 1 - n = n + 1 - n

Sendo c ∈ ( n - 1 , n ) .

Como n é um número natural e:

f ' x = 1 2 x + 1

Garantimos que a derivada é estritamente decrescente no intervalo do problema. Para tal, o menor valor possível para f ' ( c ) será:

f ' c = 1 2 n + 1

E o maior:

f ' c = 1 2 n

Substituindo na relação do teorema, chegamos que:

1 2 n + 1 < n + 1 - n < 1 2 n

Resposta

1 2 n + 1 < n + 1 - n < 1 2 n

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