Mostre que tem exatamente duas raízes reais e localize-as em intervalos de amplitude máxima
Passo 1
Verificar a paridade da função
As vezes, quando temos funções com caras muito feias e muito grandes, é interessante a gente verificar se a função é par ou ímpar, porque, dessa forma, vamos poder usar a simetria da função pra tirar algumas conclusões. Então da uma olhada:
Opa, então é uma soma de funções pares! Se é o caso, então da pra afirmar que é par também. Mas, se não acredita, podemos provar fazendo:
Então vamos analisar essa função para e extender os resultados pra pra facilitar. Afinal, funções pares são simétricas em relação ao eixo !
Passo 2
Encontrar as raízes para valores de interessantes à função
Essa parte pode ser um pouco mais complicada. Aqui, vamos precisar lembrar do Teorema do Valor Intermediário: seja uma função contínua em um intervalo fechado , tal que e , existirá então um tal que . A dificuldade vai estar em achar valores ideais de e .
Show de bola, agora que lembramos, vamos sugerir valores de e . Como estamos considerando somente e o enunciado pede um intervalo de amplitude , vamos escolher:
Opa, olha os sinais dos resultados! Como:
Então existe pelo menos uma raíz dentro do intervalo . E sendo a função par, existirá também pelo menos uma raiz dentro do intervalo .
Passo 3
Provar que a raiz é única
Ok, sabemos um intervalo onde pelo menos uma raiz de existe, mas será que ela é a única? Poderia ser o caso em que um faça acontecer também. Só que repara só: se a raiz for única, então a função jamais “descerá” novamente para encontrar a reta depois de ter passado dela a primeira vez. Ou seja, se:
Então é uma raiz única. Beleza, falta só agora provar isso. Lembra do teste da primeira derivada? Então, vamos usar ele aqui agora:
Isso é o mesmo que dizer que a inclinação da reta tangente é sempre positiva. Vamos derivar então e ver se isso é verdade:
E como , vamos ter que:
Opa, tai! Até ontem pelo menos, o menor valor que assume é . Então pra qualquer , a última inequação vai ser verdade.
Perfeito, ta provado que pra , é crescente. Como a função é par, então pra , a função é decrescente e passa, também, somente uma vez pela reta
Resposta
possui somente duas raízes, localizadas entre e .