Passaram-se desde que um termômetro de mercúrio foi retirado do congelador que estava a de temperatura e colocado em água fervente a . Demonstre que em algum lugar do trajeto a coluna de mercúrio estava subindo a uma taxa de .
Passo 1
Antes de tudo o que é estar “subindo a uma taxa de ”? Isso diz que a temperatura varia a uma taxa de , ou seja, queremos mostrar que, em algum momento do processo a derivada da temperatura foi:
Passo 2
Passaram-se durante o processo. Assim, considerando que começou no tempo zero e terminou no tempo :
Agora, a temperatura em era de , logo:
No final, o termômetro acabou fritado, coitado:
A taxa de variação média da função foi:
Passo 3
Putz, jovem. A variação média da função é que é justamente o valor que queremos mostrar que a derivada assume em algum momento. E qual teorema mostra que a derivada de uma função assume a taxa de variação média da função em algum momento? Hein? Hein?! Rufem os tambores!
É ele, o Teorema do valor médio. Então vamos aplicá-lo. Ele diz que existe pertencente a tal que a derivada é igual à taxa de variação média no intervalo:
Pronto! Está provado.
Então, fique atento! Quando a questão pedir para você mostrar que a derivada assume determinado valor num intervalo, aplique o TVM, se der o valor que está sendo pedido, tá provado!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)