Certo lago pode suportar uma população máxima de peixes. Considerando que há poucos peixes no lago, sabe-se que a taxa de crescimento populacional será proporcional ao produto da população existente pela diferença da população existente a partir de , ou seja, , onde é a taxa de crescimento para uma população de dimensão .
Pergunta-se: Para que população a taxa de crescimento será máxima?
Passo 1
E aí, tudo beleza?
Aqui a pergunta é: qual o valor de que maximiza a função:
Sabemos que para fazer essa maximização, precisamos procurar o ponto crítico de , ou seja, o ponto onde a derivada é zero.
Vamos derivar essa função então pra começar...
Passo 2
Primeiro multiplicando os termos ali pra ficar mais fácil:
Vamos derivar agora, sendo constante:
Passo 3
O ponto crítico é onde a derivada é zero, então:
Como é constante e está nos dois termos, podemos cortar
Ficando com:
Passo 4
E podemos confirmar que isso é um ponto de máximo se verificarmos que a derivada segunda é negativa:
Ótimo, então de fato temos um máximo na taxa quando 😊
Resposta
A taxa de crescimento é máxima quando a população é de peixes.