Encontre os pontos de inflexão da curva .
Passo 1
Pra ter uma ideia do que estamos falando, um ponto de inflexão é uma coisa como essa:
Pondemos dizer que é o ponto onde a função muda de comportamento. Repara que ela tinha uma cruva com concavidade para baixo, indicando um crescimento que ia mais devagar a cada passo, e no ponto azul ela passou a ter uma concavidade para cima, indicando um crescimento que vai cada vez mais rápido.
E matematicamente falando, como podemos achar esse ponto? Bom, esse é o ponto onde a segunda derivada da função vale zero. Tranquilo, né? Ou seja
Passo 2
Vamos calcular as duas derivadas:
Lembra que a derivada da soma é o mesmo que a soma das derivadas? Ou seja
Agora vai ser só calcular cada uma dessas derivadas aí. Pra derivada de polinômio temos
Lembrando que a derivada da constante vale zero, certo? Logo a derivada daquele 7 ali vai ser nula...cuidado.
E agora fazemos o mesmo processo pra segunda derivda
Vamos começar achando os pontos que tem derivada segunda nula, ou seja
Vamos dividir tudo por pra deixar nossas contas mais simples. Atenção na matemática aqui. Lembra que numa equação, tudo o que fazemos de um lado, temos que também fazer no outro pra mantermos a igualdade, certo? Então
Como é uma equação de segundo grau, podemos usar Bháskara fazendo:
Detalhe, no nosso caso temos
Vamos jogar nas fórmulas então. Primeiro calculando o delta
Ou seja, temos duas raízes:
Passo 3
Beleza, descobrimos as coordenadas dos pontos de inflexão, e pra descobrir as coordenadas vamos jogar esses valores de na função
- Para
- E para
E o primeiro ponto é
E o segundo ponto é .
Prontinho, achamos os pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos de inflexão são e .