A função é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função no ponto .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Pra encontrar a equação da reta tangente a gente precisa da derivada, que é o coeficiente angular, lembra?
Mas aqui a nossa função não está escrita como de costume, o não está isolado. Quando isso acontece dizemos que temos uma função definida implicitamente. Pois nossa função não tá isolada dessa forma aqui:
Sendo assim, precisaremos derivar implicitamente também, ok?! Como faz isso?
A gente vai derivar cada termo de acordo com cada variável e vai indicar qual a variável que a gente derivou. Vem acompanhando comigo...
Passo 2
Vamos pegar nossa função:
E repartir dessa forma aqui:
A gente vai derivar cada pedacinho desse, e depois remontar nossa equação.
Passo 3
Primeiro essa:
Nossa variável aqui é , então a gente vai derivar normalmente, como a gente já tá acostumado. E aí vamos colocar um na frente, pra identificar que derivamos o :
Beleza, vamos pro próximo pedacinho...
Passo 4
O nosso próximo pedacinho vai ser esse aqui:
Da mesma forma do outro, só que agora a gente tá derivando o então vamos colocar um na frente pra identificar:
Joia! Vamos seguir...
Passo 5
Agora falta esse pedacinho aqui:
Nesse a gente precisa de uma atenção especial, porque temos as duas variáveis. Como temos um produto, a gente aplica a regra do produto aqui, que é:
Vamos chamar aqui:
E aqui derivando a gente tem:
Então...
Passo 6
Beleza, já derivamos cada pedacinho, agora vamos voltar pra nossa equação...
Substituindo as derivadas de cada termo:
Agora vamos agrupar tudo o que tem de um lado e tudo o que do outro:
Agora vamos passar o dividindo pro lado do :
E vai pro outro lado também dividindo:
Beleza! E assim encontramos a derivada da função! Ufaa...
Passo 7
Agora, a gente vai ver o valor dessa derivada no ponto pedido substituindo o por e o também por .
Show! Esse é o coeficiente angular da reta!
Passo 8
A equação da reta tangente é da forma:
Onde é o coeficiente angular e é o ponto de tangência.
No nosso caso, e .
Substituindo, vamos ter:
E então chegamos na reta tangente! A resposta é a letra D😉
Resposta
(d)