Exercícios Resolvidos de Reta Tangente

Ver Teoria

Enunciado

Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno, seu raio aumenta a uma taxa de 0,01 cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando seu raio é de 50 cm?

Passo 1

Temos pelo enunciado que a taxa de variação do raio de um prato em relação ao tempo é de 0,01 c m m i n que isso significa? Simplesmente que a primeira derivada da função vale   0,01   c m / m i n . Tranquilo demais, né? Então

d r d t = 0,01   c m / m i n

Sabemos que para determinarmos a área de um prato circular teremos

A = π r 2

Lembra que é assim que representamos a área de algo circular. Onde esse r é o tamanho do raio do prato.

Observa que o que está variando com o tempo é o raio, certo? Então r é nossa variável. Teremos então

A = π r 2

d A d t = π r 2 '

Lembre que r varia em relação a t , então vamos fazer uma derivação implícita.

d A d t =   2 π r   ∙ d r d t

Como temos

  r =   50   c m   e   d r d t = 0,01   c m / m i n

Poderemos escrever o seguinte

d A d t =   2 π ( 50 ) ( 0,01 )

d A d t = π   c m 2 / m i n

Resposta

d A d t = π   c m 2 / m i n